■　数学と図形　【　EDUCATION　】

　現実世界の存在しているものを扱う場合、感覚器官を用いて取得したデータを元に判断をして硬度を行うことになりますが、この時に野生だと対応できないものが多すぎるので文明の利器を使うことになります。

　その中で、【　人が存在しているだけで使用できるもの　】も多く存在しているわけですが、こうしたものを体系化してまとめなものが人類の歴史に寄って培われた多くの知識になります。これを体系化して基礎から学ぶのが学問になります。

　基本的に静物の感覚器官だけだと　【　集合を扱うだけでも精度が落ちる　】　ので、集合の状態や状態変化の・ようなものを扱うのには適していないので、感覚器官をそれに順応できるまで精度を上げるか、もしくは、別の方法を持ちることになります。

　また、基準が存在しない場合には、定数が変数のようになってしまうので　【　文明がなさすぎる状態になる　】　ため、

　　■　基準

　　■　状態　

　　■　推移

という現実世界に存在して然るべき物を体系化して用意する必要があります。こうしたごく当たり前な状態を扱うものとして　【　数学　】　が存在するわけですが、この数学を用いて自然界の現象を示したものが物理の分野になります。

空間と数学

　小学校の算数でも図形が登場しますが、小学校では、

　　■　図形

　　■　計算

　　■　データを扱う

という分野は個別に扱っています。ただし、

　　■　図形

　　■　面積

　　■　体積

は扱うので、

　　■　幾何学

　　■　代数学

を組み合わせて利用する方法はカリキュラムの中で登場しています。幾何学は、

【　幾何学　】

　　数値を使わずに

　　　・　コンパス

　　　・　定規

　　だけで図形を描く方法を体系化したもの

になりますが、コンパスは円弧と距離の記憶を行うための使用して、定規は直線を引くだけの用途で使用します。小学校だと、

　　■　正六角形

　　■　正五角形

の描き方が登場すると思いますが、これも寸法や角度の情報なしに幾何学の法則性を用いて描くことになります。

　これが幾何学になりますが、形状には寸法があるので、寸法の概念を用いることでその形状のデータの総数を求める小tが出来ます。これが

　　■　面積

　　■　体積

になります。ちなみに、コンパスと定規だけでは　【　π　】　のような数値を正確に出すことはj不可能なので、代数学では可能な　【　円と同じ正方形　】　は存在するのですが、それを幾何学だけで再現することは出来ません。これが、　【　代数学と幾何学の違い　】　になります。

　その為、計算上は可能であっても現実では不可能とされているものも存在するわけです。

　こうした判断を行う場合にも　【　知識がなければ判断できない　】　ので、此の基本となるものを身に着ける必要がありますが、これが体系化されているものが学問になります。

　現実世界はユークリッド空間で構成されているのですが、通常は三軸の情報で位置を指定します。日常で使用するものだと

　　■　ユークリッド空間

　　■　ニュートン力学

　　■　熱力学の第一法則

になりますが、これが宇宙空間の出来事になるとニュートン力学の重力の概念が働くと誤差が生じてしまいます。これは水星の周期で誤差が出る事で発生した内容ですが、此の誤差は見えない衛星の影響ではないのか？などの仮設も建てられたわけですが、実際にはそうではなく、この問題は、特殊相対性理論を用いることで解決しています。この理論を提唱したのはアインシュタインですが、特殊相対性理論を用いると水星の誤差がなくなり正確な周期を導き出すことができたわけですが、GPSの運用についてもこうした物理法則を用いた物が利用されています。このように　【　対象物が変わると使用する法則性も変わる　】　わけですが、　

　特定のサイズ以上の場合

　　■　ニュートン力学

　　■　熱力学の第一法則

　に収束する

という特性があるので、日常で使用するものはこれに準じたものになります。その為、上記の３つの物を基準として考えることになります。

　数学では座標平面上の出来トトを座標や法則性を示す関数で扱うことになりますが、中学校の数学のカリキュラムだと、変域が登場するので、法則性に対して範囲指定を刷ることで状態を取得する方法を学習します。

　変域を設けると

のように座用が取得できますが、範囲指定をすると画像のように２つの座標が発生します。

　これが　【　平面上の距離　】　に該当する訳ですが、対角線を用意すると、

　　■　X=0でYが最大の条件

　　■　y=0でXが最大の条件

のデータについてもx1とy1を参照するだけでザヒょの取得が出来ますから、対角線をなす2つの座標を求めることができれば対角線で構成された矩形の4つの座標を取得することが出来ます。

　変域では、座標の指定をして範囲指定を刷ることになりますが、一次関数に対して変域を指定すると斜線を取得できるので、　【　幾何ベクトルと同じ構造のもの　】　を関数の中から抽出することが出来ます。

　変域を設けていない条件だと斜線は一次関数になりますから、

で傾きを求める小tが出来ます。実際に求めてみると

【　y=2xの場合　】

　　　ｘ＝１

　　　ｙ＝２

　　傾き　：　２÷１　＝　２

【　y=x/2の場合　】

　　　ｘ＝２

　　　ｙ＝１

　　傾き　：　１÷２　＝　１/２

のようになります。このように整数で求めることが出来る座標を探してみて関係性を式にすると一次関数のグラフの傾きを求めることができるのですが、

のような構造にした場合、傾きを辺ではなく、座標で考えることが出来るのですが、此の長さをベクトルで考えると長さを求めればいいので、

を行えばいいので、

のようになります。これが、　【　一次関数の傾き　】　を出す時の方法になりますから、変数ｘが代入された時の変化の法則性を示す式を求める方法になります。

距離を求める

　前述のように一次関数の法則性を使用すると三角形の傾きの法則性を導き出すことが出来るのですが、此の方法だと　【　斜辺の距離　】　を求めることが出来ません。

　距離を求める場合には色々な方法がありますが、中学校三年生の数学では、【　三平方の定理　】　が登場するので、これを用いることで３つの辺の長さの関係性から距離を求めることが出来ます。

　中学校一年生の数学では　【　指数　】　が登場しますが、三平方の定理は変異体して指数を指定したものになりますが、

のようなホウ素kス映画全ての直角三角形に対して成立するので、２つの辺の長さがわかっていれば、残った一つの辺の長さを求めることが出来るようになっています。

　辺の長さは幾何ベクトルとして考える事が出来るので、先程のように距離を示す座標の減算処理で長さを求めると

のような形で示すことが出来ます。その為、

のような構造の場合、

という形に置き換えて考えることが出来るわけです。

数学と物理

　現実世界の出来事は法則性の鑑賞で成立しているので、量子力学レベルの微細な現象の鑑賞で式を構築すればかなり精度の高い物理モデルを作ることが出来るようになっていますが、これを大まかに使用するだけでも現実に近い擬似的な状態を作ることが出来ます。これが、3DCGツールやゲームエンジンに実装されている物理シミュレーションになりますが、これも物理法則の指定に寄って挙動を制御する物になります。

　物理法則は理想空間上で現象の法則性を示したものなので、法則性に影響を与える余計なものを除去した状態で成立するものになりますが、現実世界の現象は他の影響も存在するので複数の関数の干渉によって成立しているものになります。

　その為、物理では、法則性を示すのに式を使用しますが、どの式も関数の形になっています。

　数学は　【　法則性を構築するための部品　】　になるので、基礎的な構造でしか登場しません。此の代表例が　【　幾何ベクトル　】　になりますが、べく取っるは合成時の法則性などを扱うので、数学では基本構造となる法則性飲みを学習します。

　その為、数学で使用するベクトルは　【　原点が基準　】　になっています。ベクトルで力を指定する場合には、　【　力の発生源　】　が存在するので、ベクトルが生じている場所には必ず座標が存在します。

　その為、物理で考えるときには、数学の幾何ベクトルの概念に加えて　【　座標のデータ　】　を追加して考えることになります。この辺りは高校の物理でもごく当たり前に登場するので特に問題のない分野だと思いますが、モーメントを求める場合には　【　距離　】　と言う座標データが発生しますが、これが物理で使用する　【　付加要素　】　になります。では、この力の状態だけを見た場合、発生源を原点とした状態で見ることになりますから、此の場合には原点（０，０）を基準とした力の状態で見ることになります。

　基本的にベクトルで考えた場合

　　■　数学　：　原点

　　■　物理　：　任意の座標

を基準にしていますから、

　　■　数学　：　グローバル座標

　　■　物理　：　ローカル座標

で考えることになります。このデータの構造ですが

　　■　数学　：　原点

　　■　物理　：　変数

になります。三角形を扱う場合も原点以外に座標が存在することがありますが、此の状態もグローバル座標とローカル座標の違いとして考える事が出来ます。

の状態で位置関係を考えると

のように置き換えることが出来ますが、座標平面上の位置の移動は

　　■　x切片

　　■　y切片

の値の追加で成立しているので、式の構造によってコントロールできるようになっています。

　中学校では式が複雑になると理解しにくいので基本となるy切片のみの形で扱うことになりますが、一次関数の構造は

　　■　ｙ　：　関数の値

　　■　ａ　：　係数

　　■　ｘ　：　変数の値

　　■　ｂ　：　y切片の値

で構成されています。これが　【　ｙ＝ａｘ＋ｂ　】　と言う形になっていますが、変数項単位で分けると、

　　■　関数の値

　　■　一次関数

　　■　定数

で分けることが出来ます。その為、一次関数のグラフを切片を示す定数のグラフでコントロールする仕組みが一次関数になります。

　中学校一年生の数学では最初の方で　【　符号　】　が登場しますが、此のカリキュラムでは絶対値を用意すれば符号で状態を反転できることを学習します。また、

　−１×−１＝１

のような乗算による変化なども学習することになりますが、

【　変数ｂの場合　】

　　■　符号あり　：　−ｂ

　　■　符号なし　：　ｂ

のようになります。その為、定数の変化についてもこれが適応できるので、y切片についても

　　■　x=0の時yが−ｂ

　　■　x=0の時yがｂ

のような指定を刷ることが出来るわけです。これがy切片の効果になります。この状態を見ると

　【　スタートラインの値がy切片　】

ということになりますから、　【　y切片は初期値　】　ということになるわけですが、b=0の場合だとスタート段階の値が0ですから、０からスタートするグラフが生成されます。これに初期値を加えることで状態を作るのが一次関数の仕組みになります。当然、グラフには増減が存在するので、係数に符号が付く場合もあるので、

　　■　係数に符号がある　：　減少

　　■　係数に符号がある　：　増加

を示すグラフになります。中学校の理科のカリキュラムは数学と連動しているので、学習した関数をそのまま使うようなものが登場します。例えば、中学校の物理のバネで登城する　【　フックの法則　】　は、

の法則性を示したものになりますが、この公式は、一次関数の公式からy切片を除去した形になっています。これが中学校一年生の物理で登場するので、数学で登場した物と連動した形でカリキュラムが組まれていることが確認できると思います。

　高校の物理では、　【　三角関数　】　を使用することになりますが、これは三平方の定理では対応できない角度の概念を使ったものになります。

角度の概念

　中学校の数学でも角度は使用しますが、ここで使用するのは度数法になります。

　これは、分度器で図れる形のものになりますが、プログラミング言語や関数電卓を使用する場合だと

　【　Degree（デグリー）　】

を用いることになります。高校でも最初はこれを使いますが、途中から弧度法を用いるので、分度器ではなく定規で図れる数値で角度を示すことが出来るようになります。

　これが抽象表現を用いる代数学の面白い部分になりますが、これは　【　半径１の円周の公式　】　を角度に置き換えたものになります。この場合、円の円周は２πになるので、　【　360°＝２π　】　が成り立ちます。これが、【　弧度法で角度を示す時に使用する角度の表記　】　になりますが、プログラミング言語や関数電卓の　【　Radian（ラジアン）　】　が弧度法の表記になります。

　角度がある場合には、

のような構造になりますが、この辺に対して

のように垂線を引くと

のような形で直角三角形を作ることが出来ます。この場合、

　　■　９０°

　　■　Θ°

　　■　１８０°　−　（９０° ＋ Θ°）

のようになるので、Θの値が決まると直角三角形の全ての角の角度を導き出すことが出来ます。

　高校一年生の数学では、三角関数の基本構造である三角比から学ぶことになりますが、　

　　■　２つの辺の比率

　　■　角Θ

を用いた時の関係性を学習することになります。これを用いることで、

　　■　辺の長さ

　　■　角度

を求めることが出来るようになっています。この時の斜辺部分の頂点の位置を円の接点として考えると４つの象限で三角比を使用できるようになるので座標平面上の全ての方角に対して三角比の法則を使用できるようになります。この三角比を拡張したものが数学IIで登場する三角関数になります。

　斜面に物を置いた時の力の大きさを求める場合にも同じ方法で力の大きさを求めることが出来ます。

のように物体を置いた場合、

のような力が生じるのですが、こうした力の大きさを求める場合には、力のつり合いのカリキュラムでは

のような形で力を求めることになります。この時に斜面に沿って進もうとする力と斜面を押す力は直角になるので、直角三角形になりますから、三平方の定理や三角関数を用いるとそれぞれの力を求めることが出来ます。その為、中学校では三平方の定理でこの問題を解くことが出来るようになっていますが、高校では、三角関数を用いることで力を求めることになります。

ベクトルと図形

　ベクトルは力を扱う際に使用しますが、数ベクトルのように数値の集まりを使う場合にも使用します。

　ベクトルは

　　■　大きさ

　　■　向き

を示したものとして登場しますが、力という見えないものを具象化することで座標平面上に再現したものになります。これは力だけでなく座標平面上で

　　■　距離

　　■　方角

を示すものであれば再現できるので、絵を描く時の考え方にもそのまま当てはめて使用する事が出来ます。

　絵を描く場合には　【　線　】　を用いますが、此の時に

　　■　直線

　　■　曲線

を用いて状態の再現を行うことになります。この時の最小単位は

のようになりますが、

　　■　直線　：　単一のベクトル

　　■　曲線　：　２つのベクトル

を再現することが出来ます。曲線は　【　曲がる　】　と言う減少が生じた線分ですから、直線お方角が途中で変わる必要がありますが、複数のベクトルを用いることで此の状態を再現することが出来ます。

これが曲線の最小単位ですが、ここにベクトルを追加して原点に回帰させると図形を作ることが出来ます。

ベクトルの構成要素は

のように座標と頂点になりますが、頂点を配置して線分で繋ぐ事で形状や線分を作れるようになっています。

　ベクトルは原点から発生するので

のように図形から派生したり、線分の変化として使用できますが、

のように図形の連結を刷ることも出来ます。これとは別に

のように図形を包含するように図形を配置することもできます。絵を描く場合にはごく当たり前のようにこうした構造を用いていますが線分で描いたものの場合だとこのような図形の並びで形が生成されているので　【　構成要素　】　に着目すると形を取りやすくなります。

　また、絵の場合だと、

のようにベクトルを並べることで2.5Dにすることも出来ますが、この形状も三角形の集合に置き換えることも出来ます。

平面で扱っていますが、この考え方は3DCGのポリゴンと同じなので、座標の制御で形状を変更することができるようになっています。ポリゴンの場合、

のように面に対して色彩を追加できますが、

のように面を貼らずに穴の状態にすることも出来ます。ベクトルで形を取るという方法はデッサンでも用いられているのですが、デッサンをする際に最初にアタリをつけると思います。此のとkに座標を指定して線で補間を行うので

のような形になっていると思いますが、ここから更にアタリを入れていくので

のようになりますが、絵を描く際には一刀彫りや彫刻のようにアウトラインからディテールを追加するような流れになっているのでベクトルの追加によってディテールを増やして仕上げていくことになります。

ベクターグラフィック

　グラフィックツールにはシ浮動小数点数で座標の制御の制御をこない、演算医によって座標間を線分で補間するベクターグラフィックが存在しますが、平面の処理だとドロー系ツールがそういった処理が出来るものになります。3DCGツールもベクターグラフィックになりますが、三次元区間でベクターグラフィックの機能を使えるのがこうしたツールになります。現在は最終的な書き出しがラスターグラフィックになっているものでもベクターグラフィックで描く仕様のものもありますが、ペイント３ＤやScratchのコスチュームを描く時のエディタでもベクターグラフィックを使用できるようになっています。ベクターグラフィックは