小学校の算数では数字を使った計算式が登場しますが、これは状態が確定した物なので、数字の記述で対応で聴いている訳ですが、低学年の段階で必要となる計算と数字の基礎を学習し、その後、高学年では変化する数字に対応するような処理を学習する事になります。ある意味、小学校低学年では計測に必要な知識とその状態の対比に必要な数字の変化で扱う物を算数で覚えて、それの付加情報として、長さと言う幾何を使ったグラフなどを別途覚える事になりますが、 【 計測 】 と言う定点観測ではなく、集計のような複数のデータを集めてそれを範囲で空けて並べるようなヒストグラムの制作や、百分位（パーセンテージ）で区分けして帯グラフや円グラフで示すなど数値の推移ではなく、定点観測の結果の対比で使用する物も学習する事になります。
グラフについては理科でも使用するので、変化する物を特定の間隔で計測してデータを取ってグラフ化するような事もありますが、これが 【 サンプリング 】 になります。
中学校では、統計の方法として、
■ 全数調査
■ 標本調査
を行いますが、温度の変化に法則性がある場合、等間隔で時間を区切って観測結果を取得すれば値を取得できるので、そのデータをグラフの座標として追加する事が出来ます。この状態では、全数ではなく、サンプリングを等間隔で行っているので、特定の時間に対するサンプルの取得をして結果を得て全体像を判断する方法を用いてます。その為、このサンプリング方法は、標本調査になります。
全数調査の場合、全てのサンプリングを粉う事になるので、学校の身体測定や運動能力が学力のテストがそれに該当しますが、1クラスで全員が出席した状態で計測する物になりますから、この条件をクラスレベルで見ると 【 クラス 】 と言う全員に対する全数調査になります。学校全体でテスト期間を設けた場合、学校全体の全数調査になりますが、同じ日に一斉に中間テストや期末テストを実施した場合、同時にデータが出ますから、国内のその学生の学年別の成績の全数調査を行う事もできます。
ただし、これは難しいので、参加している学校に限定されますが、全国学力テストのような学校単位での学力ではなく、参加した学校の総数で見た場合の学力レベルを計るテストが存在しています。これは、参加した学校の生徒レベルの全数調査になりますから、無作為なサンプリングよりも正確なデータを得る事が出来ます。
数が少ない場合に標本調査をするというのは、外れ値を得る為の間違いをしているような物ですからありえないわけですが、サンプリングの場合も取り方を間違うとおかしな値が出るので、算数すらできない状態だと何を使っても外れ値しか得られないという末期な状態になります。その基礎として、算数を学習する必要があります。
基本的に、統計情報と言うのは、定数化した過去に計測したデータを集めて集計する為の物ですから、データベース参照とその解析のために使用する 【 構造物の中の部品 】 の学習になりますが、集計表のように縦と横の罫線でマス目になった物を使う場合、データの状態を多次元化して示す事が出来ます。
1990年代後半には個人向けのコンピューターでもスプレッドシートは使用できていたので、ソフトウェアでこうした処理をする事は可能でしたが、現在は、ごく当たり前にオフィースソフトを使用できるので、コンピューターがあれば、こうした処理も気軽に行えるようになっています。PC用のソフトウェアを使う場合、OSSの物を使うと個人でもコストを抑えて色々な物を体験できますが、Libre Officeのようにオフィースソフトの統合環境があるので、スプレッドシートも気軽に使えるようになっています。
集計表は、二次元配列のデータですから、これをどう言った使途で使用するのかで票の内容も変わってきますが、前述のような全数調査や標本調査で使用する物を扱う場合のデータの蓄積をする際にも使用しますし、理科の観測結果のような物でもサンプリングの結果として記録する場合もあります。このように多方面で帳票は使用しますが、小学校高学年では、数列や比例が登場するので、 【 法則性を持った数値の変化 】 を扱う事になります。これが、関数などの入り口になりますが、
【 ある値が◯の時、□になる法則性 】
を2つの数値の推移から判断できるようにするカリキュラムとして、
■ 等差数列 ： ＋の変化（増加）
■ 等比数列 ： ×の変化（乗算）
等差数列は九九の表のような加算で変化する物になりますが、等比数列は、n進数のような変化をする数列になります。
数列は中学校で法則性を式にした状態で学習しますし、高校では、もう少し踏み込んだ状態で理解を深める事になりますが、こうした 【 法則性による推移 】 を学習します。
また、帳票で見た場合、データの変化が解りにくいのでこれを幾何にして示したほうが解りやすいのですが、法則性のある帳票に示した数値の座標としてグラフにに示す事で法則性を確認すると数値の羅列では解らない事が見えてきます。これが数学における変換処理になりますが、こうした変換処理を行う事で、物の見え方も違ってきます。比例のカリキュラムでは、
■ 比 例 ： 一次関数
■ 反比例 ： 分数関数
のグラフが登場しますが、加算によって増加する処理のグラフは常に斜線になり、分数の場合だと座標軸に隣接しない状態で値が発生するグラフが生じます。基本的に、
■ 比 例 ： 増加のみのグラフ
■ 反比例 ： 分母の数で分けた時の結果のグラフ
ですから、小学校では 【 減少するグラフ 】 は学習しません。これが登場するのが中学校のカリキュラムになります。
中 学校のカリキュラム
小学校のカリキュラムでは、
■ 状態を示すデータの理解
■ データの変化時に使用する処理
■ 確定したデータの取り扱い
■ 法則性のある集合の取り扱い
■ 帳票とグラフの相互変換
などを学習します。これとは別に幾何学も学習しますが、これは、 【 データの集合を扱う腕必須な物 】 なので、データの状態が 【 不等式 】 で指定した範囲になった時に不等式と図形が解っていないと理解できないので、必須な物になります。
小学校のカリキュラムでも
■ 代数学 ： 数字と計算式
■ 幾何学 ： 図形全般
■ 解析学 ： 代数学＋幾何学
の3つがあります。グラフと数字を使う分野は解析学になりますが、集計表をグラフに示す場合、統計データを集計してデータにしているので統計学になりますが、この分野も解析学の分野に含まれる物になります。これとは別に、
■ データと活用
と言う分野がありますが、これも統計学の分野になります。
中学校所カリキュラムでは、統計学の分野をもう少し踏み込んだ状態で扱うので、 【 関数 】 と言う法則性のある推移を数式で示す方法を学習します。これも、小学校のカリキュラムの応用になりますが、小学校の算数でも 【 穴埋め問題 】 が登場しますから、
■ （ ） ＋ 2 ＝ 5
■ ３ ＋ （ ） ＋ ９ ＝ 15
のような問題が登場しますが、この式は、答えが数字として確定しているので、不足している（）の部分の値は決まった数字になっています。このように決まった数字で示す事が出来る値の事を 【 定数 】 と言いますが、この式の（）を使うと複雑な式を扱う事が出来ないので、任意の数字を代入できるようにした構造として 【 変数 】 を使う事になります。
この仕組みを 【 項 】 で学習しますが、この時にこの（）の部分をアルファベットに変えた状態で記述するようになります。その為、上記の式は、
■ a ＋ 2 ＝ 5
■ ３ ＋ a ＋ ９ ＝ 15
のようにして 【 変数aの値を求める 】 と言う問題にしても行っている事は同じなので、変数で示した状態でも同じ構造の問題を作る事が出来ます。これが変数を使った方程式の初期の問題になります。
中学校では、数値の扱いについて 【 負の数 】 を使うので、【 数値が増えると減少する値 】 を使用します。この時に 【 符号 】 を使った物になりますが、中学校の数学から
【 マイナス方向の値 】 がグラフ上でも登場しますから、グラフの構造も変わります。小学校の比例と反比例ノグラフは、
■ 比例
■ 反比例
のように正の数のみでの推移を扱いますが、中学校では負の数も使うので、グラフで使用できる範囲が4倍になります。
また、これを関数で使用しますから、
■ 一次関数
■ 分数関数
のような構造になります。
このグラフの区画は 【 象限（しょうげん） 】 と言いますが、それぞれの区画に
のような区分けが存在しています。負の数を使うと、
減算も符号のある数値の加算で処理できるようになる
ので、減算の考え方も少し変わってきます。小学校では基礎を学ぶので、処理の法則性と言う 【 部品の理解 】 をする物なので、減算は減算処理と言う 【 変化 】 として理解を深めておく必要があるので、そう言う基礎固めとしてカリキュラムが組まれていますが、処理を扱う上だとそれを踏まえた上で、汎用性を高くする必要があるので、少し違った視点で考える事になります。
■ 小学校の減算
元の状態から、特定の数が減った時の変化を
示すために扱う式。
■ 中学校で登場する符号
加算する対象を反転させて使用する時に実装
する部品
になります。つまり、
■ １ ＋ 2 ＝ 3
■ １ ＋ （－2） ＝ －１
のような考え方になります。また、
■ １
■ －１
は０を挟んで同じ距離にありますが、この原点０からの距離の事を 【 絶対値 】 と言います。これは、絶対値の数が増えると±で値が増えるので、グラフにするとV字のグラフが生成されます。
■ 絶対値ノグラフ
中学校では扱わないと思いますが、実際にグラフにするとこう言いう形になります。符号を使うと計算式を簡素化できるので、
【 減算を処理の追加として扱えるようになる 】
訳ですが、項を使う事で、四則演算などを 【 処理 】 として実装できるようになります。この時に使用するのがアルファベットで記述した変数項になりますが、
■ 減算 ： 符号
■ 乗算 ： 係数
■ 除算 ： 分数の分母
■ 累乗 ： 指数
として実装する事で複雑な数値の計算式を一つの処理として使用する事が出来ます。また、項は加算で繋いでいくので、プログラミングで使用する逐次処理や電気の直列回路のように工程順に処理をするような流れにする事が出来るので、確定した状態に対して、項で実装されている処理を追加するという流れで計算を進める事が出来ます。つまり、小学校１年生の最初に登場する足し算と同じ状態を確定した値ではなく、処理として存在する構造物を使って扱えるようにした物が項になります。この時の表記として
■ 定数項 ： 確定した値
■ 変数項 ： 任意の数値を代入できる値
として使用しますが、項の登場以降の数式は、数値の部分が確定した物で、アルファベットの部分は確定していない値を扱う事なります。
これを使って方程式を解くことになりますが、方程式には、
■ a － b ＝ 5
のように、変数aの値を算出した時に
■ a ＝ b ＋ 5
のようになる場合もあります。この場合、変数bが1の場合、変数aは6になりますし、2になると7になります。このように式内の変数で答えが変わるような式を恒等式と言いますが、これが関数の最小の構造の 【 一次関数 】 になります。
■ 一次関数
前述のように方程式の基本構造は穴埋め問題なんですが、一次関数も小学校のカリキュラムの拡張なので、グラフとしては、比例のグラフになります。小学校では、その前に等差数列を学習していると思いますが、変化する値だけを指定すると
の形になるので、一次関数は、
■ 等差数列
■ 正比例
の法則を式で支援した物になります。等差数列は九九と同じなんですが、同じ数分だけ増えていきますから、基本形状が１でそれを何倍した数で増えているのか？と考える事になります。
この時に、帳票だと、1~9のように範囲を持たせた表を用いて数値の変化を示していましたが、この数値を 【 変数 】 で示した場合、 【 変数に代入する値の推移 】 を考えるとグラフを作る事が出来ます。小学校の比例・反比例でも座標軸を扱うので、x軸とy軸の考え方が登場しますから、式の中に変数を含んだ数式を作る場合にもグラフで使いやすい形で表記したほうが扱いやすいので、
■ 変数 y ： 数式の階
■ 変数 x ： 式内で使用する変数
として使用します。その為、九九の１の段のような推移をする物だと、1ずつ増加する等差数列になりますから、その構造を変数項を用いて数式にすると 【 y = x 】 となります。
実際にグラフにすると、画像のように正比例になっていますが、これが一次関数の基本構造になります。
九九の場合、1の段の等差数列に対して、係数を与えて変化を加えた物と考える事が出来ますが、等差数列や比例でも１以外の数値で推移する物も存在しますが、基本となる単位を１として考えると、【 倍数で制御できる 】 事になります。その為、項で処理をする場合には、変数項に係数を追加する事になりますから、アルファベットの最初の文字である変数aを係数として使用して 【 y = ax 】 と言う式になります。これをグラフにすると
のように傾きが変化するので、推移の状謡をコントロールできるようになります。また、符号が使えるようになるので、
■ 増加のグラフ ： y = ax
■ 減少のグラフ ： y = -ax
と言う2つのグラフを扱う事になります。その為、常時減少するとマイナスに至るという至極当然な内容も法則性で示す事が出来る訳ですが、比例の反対が反比例ではなく、増加の反対が現象なので、同じような消費が発生した場合、符号の付いた一次関数にしかならないので数値は0を下回るという至極当然な結果を法則性と値の変化で知る事が出来るわけです。
■ 増加のグラフ ： y = ax
■ 減少のグラフ ： y = -ax
となります。負のグラフは小学校では登場しませんが、中学校ではこうした変化も扱います。また、等差数列の場合、
■ １，３，５，７，９....
■ ２，６，１０，１４，１８....
のように増え方が特殊な物もあります。この場合、初期値が決まっていて、そこに等差数列の法則性が追加した構造になっています。等差数列の変化については一次関数で示すと係数になりますが、上記のような数値の変化は、
■ 初期値１に対して＋２の変化
■ 初期値２に対して＋４の変化
になっています。これも法則性が解ると理解しやすいのですが、等差数列は比例であり、比例は一次関数の式で示す事が出来るので、これを関数の形に変更する事が出来ます。
この状態は、【 法則性の式 】 ＋ 【 初期値の式 】 と言う処理なので、
【 一次関数 】 ＋ 【 定数の式 】
という形で示す事が出来ます。一次関数のグラフは原点を規準に発生しているのですが、初期値がある場合、ここに定数のグラフを加算する事になります。
その為、先程の関数のグラフに
■ 変化なしのグラフ ： y = b
を追加して考える事になります。初期値が0の場合、b=0ですから、
■ b=0のグラフ ： y = ax + b
になりますが、初期値が増減する場合
■ b=2のグラフ ： y = ax + b
■ b=－2のグラフ ： y = ax + b
のようになります。符号の付いたグラフも同様に
■ b=2のグラフ ： y = －ax + b
■ b=－2のグラフ ： y = －ax + b
のようになります。このように初期値が存在する場合、原点とは異なる場所からスタートしていますから、x軸とy軸の双方にグラフとの交点が出来ます。
この交点の事を、切片と呼び
■ x切片 ： x軸との交点
■ y切片 ： y軸との交点
と呼びます。
■ グラフと切片
一次関数の構造は基本的には等差数列や比例と全く同じなので、小学校で扱っていた法則性を数式で示し、その拡張として増減を扱えるようにした仕様になっています。
■ 不等式
不等式は、範囲を示すものなので等式とは異なり複数の数の集合を記号だけで示す時に使用する物になります。これも小学校で不等号として登場しますから、不等式を使う為に道具としてその仕様と使い方を学習する事になります。基本的に、
■ a ＞ b ： aはbより大きい（超過の関係）
■ a ＜ b ： aはbより小さい（未満の関係）
になりますが、以上と以下については、この判定に対して論理演算で論理積で 【 一致 】 の条件を合わせた物になります。その為、
■ a ≧ b ： aはb以上
■ a ≦ b ： aはb以下
の場合、
■ a ≧ b ： a ＞ b Λ a ＝ b
■ a ≦ b ： a < b Λ a ＝ b
もしくは、集合演算で
■ a ≧ b ： a ＞ b ∩ a ＝ b
■ a ≦ b ： a < b ∩ a ＝ b
と言う判定をした物になります。不等式は基本的には範囲指定をする物ですから、ローカル座標を指定してポリラインの長さを指定する場合にも市世杖着ますが、ベクトルのように位置と向きと大きさがある場合、始点と終点があるので、始点以上、終点以下の範囲で成立しています。これが、長さを集合で示した場合の判定になりますが、この判定を記号で示す場合、不等号を複数使って処理をする事になります。中学校のカリキュラムだと集合演算や論理演算は出てこないのですが、これは、
■ 等号、不等号の理解
■ 範囲指定の方法を知る
と言う条件なので、この基礎を覚えてから、二次元で使用する為の 【 グラフ上での変域 】 を使用する事になります。この考え方ですが、グラフィックツールの範囲指定と考え方は同じなので、範囲指定波動行っているのか？という仕組みの基本的な考え方を学習する事になります。
この時に多重で範囲指定をしているので、プログラミング言語だと論理演算子と比較演算子を組み合わせた処理を行っている訳ですが、Scratchを使う場合でも変域のような判定はこの考え方なので、 【 ○○かつ■■ 】 のような構造をブロックで組むことになります。
不等式については、中学校だと関数のグラフの交点で作れる図形の取り扱いをしますが、この時に図形の面積や体積の公式を使って、グラフ上にできる平面図形の面積やその回転体の体積を出すカリキュラムがありますが、これも連立不等式の前代内の学習になります。一次関数が小学校の等差数列と正比例のカリキュラムの拡張で、その式を構成する方程式も穴埋め問題の構造ですから、基本となるのは小学校のカリキュラムでしたが、高校のカリキュラムも中学校で学習するカリキュラムの拡張になります。連立不等式も連立方程式と言う等式の形の構造で座標の状態が出来る構造物でしたが、これを数式を用いた変域の指定をする方法として学習する事になります。
基本的に、定数のグラフは直線ですが、範囲の場合だと、面になります。その為、
■ 等 式 ： 定数の値が出るので線分になる
■ 不等式 ： 範囲なので面が出来上がる
と言う特性があります。小学校では範囲と言うと判断で使用しますが、グラフ上だと面の指定になりますから、この面の指定の方法を数学で学習していく事になります。
この辺りを中学校１年生の数学で学習する事にあんりますが、この応用が高校の数学になります。
高 高等学校のカリキュラム
高校の数学も中学校の基礎を基準胃拡張するカリキュラムがありますが、三角比もその一つになります。三角比は特殊案三角形の比率と三平方の定理を元に理解を深める事になるので、中学校３年生の数学で登場する、
■ 三平方の定理
直角三角形では、
斜辺２ ＝ 底辺２ ＋ 高さ２
が成り立つ
事を学習しますが、この法則だと辺の比率だけでしか対応できません。これを、二辺の比と角度で辺の長さを出せるようにした物が三角比になります。ちなみに、三平方の定理ですが、これは二乗の時のみに成立するもので、それ以外だと成立しない事が証明されています。この二乗以外にした場合、この式が成立しない法則が 【 フェルマーの最終定理 】 になります。これは数々の数学者を悩ませて300年解明されなかった問題になりますが、こうした着想もこの構造を指数関数として考えた場合に、各指数を統一の変数項と仮定した場合、項の変化によって等式委の成立が生じるのだろうか？という疑問から発生している物と考える事が出来ます。と言うか、フェルマー自身はこれが成立しない事を把握していたようですが、この内容は雑記のように記述された物だったので、その方法論は存在しあかったので、多くの数学者がそれに立ち向かい幾つものヒントを残しながらそれを解こうとする人にバトンを渡し、最終的に全く違う分野で存在する物がそのパズルを解くカギとなり、最終的に解明に至っています。
天才と呼ばれる数学者ですら、人生をかけても答えに行きつかなかった問題ですが、命題から公理を導き出し、その公理の集合から定理を導き出す作業が存在したとしてもその開放を知らなければ、その構築には膨大な労力を要するという一つの事例になりますが、数学や物理の世界にはかなり難しく解明されていない物も置く存在しています。これと似た内容が、ロストテクノロジーとなってしまった製造方法になりますが、過去には当たり前におおなえていた物であっても現在では同じ物が作れなくなっている物も存在します。
数学は現実世界の幾何だけで構成された状態を脳内のバーチャル空間によって整理し状況を判断できるようにするためのツールになりますが、コンピューターの場合、人の代用と言うよりも、人の思考をしている際に並列処理をする為のハードウェアなので、一人の人が単独で何かをする際に人の能力の限界で対応できなくなるタスク処理やクラスター処理の上限を解放してくれるツールと言う位置づけだと考えているのですが、この時に思考や判断で使用している物が数学になります。理科の分野は数式では扱いにくい変化や発見された法則性などを使う為の知識になりますが、代数や幾何を使った解析学で対応できる分野だとその仕組みを扱う時位使用するのは数学になります。解析学ではグラフを使いますが、このグラフの発明はデカルトとフェルマ―によるものですが、ここでもフェルマーの名前が登場します。
この三角比はあくまでも直角三角形での出来事ですから、内角の和が360°と言う三角形の制約を受けてしまいます。この制約を
の４つの象限に発生する直角三角形として扱う事でΘの角度の制約をなくした物が三角関数になります。中学校までだと度数法を使って、
■ 角度とは何か？
■ 角度の使い方
を学習したわけですが、辺実世界は座標で動作しているので、定規を使うとはかる事が出来ますし、寸法を測る時に計算をすれば計算結果を適応する事が出来ます。これが、数直線上で使用できる 【 数値 】 になります。現実世界における製造も解析学に基づく処理なので、空間座標上の座標の制御で形を作っている訳ですが、角度を扱う場合は、長さのように数直線上で扱う事は出来ません。そうなると、三角関数を使う事になりますが、少し視点を変えると
角度を代数の世界に持ってくる
ことができます。この方法が 【 弧度法 】 になりますが、角度を円弧の角度ではなく、円周の長さの状態で考えた物がこれになりますが、プログラミング言語で使用するラジアンがこれになります。その為、通常の学習だと、高校の数学で登場する物なので、義務教育だと何の事か解らない資料の物になりますが、この考え方も小学校の図形で登場しています。円弧の公式は、
■ 円弧の公式
■ ２ × 半径 × 円周率 （２πｒ）
■ 直径 × 円周率 （πＤ）
となりますが、小学校の公式だと、【 半径を１にすると半径の部分を省略できる 】 ので、半径１の円の場合2πが円周になります。円周は360°ですから、360°＝2πが成り立ちます。2πは代数なので、これを用いる事で角度の概念を数式の中に織り込んで挙動の制御が出来るようになります。これが弧度法になりますが、中学校まで使用していた角度の事を 【 度数法 】 と言います。
先ほどの象限をすべて使う条件になると、半径１の円の円周の任意の場所に座標を指定する事で、垂線と座標軸で三角形を作れるので三角関数の法則性を使用する事が出来ますから、三角関数では、 【 単位円 】 と言う円を描くグラフを使用する事になります。三角関数では単位円を使いますが、グラフは係数でコントロールできるので半径の指定をする事で円のサイズを変更することが出来ます。
■ 単位円
ここに一次関数を通すと
■ 正のグラフ
■ 負のグラフ
のようになり、原点を通る直線を用意する事が出来ますが、この線に対して直角に交わる接線を用意した場合、この一次関数のグラフはその接線の法線として扱う事が出来ます。
3DCGで使用すrジオメトリ（ポリゴンメッシュ）は、法線方向が見えるように指定するので両面表示にしない限りは片面表示になっています。この時の表示する面に法線が来るので、法線の向きを合わせる必要があります。その法線の概念も高校の数学で登場します。あと、ボリュームで使用する内積の概念も高校の数学で登場しますから、グラフィックで見かける処理の多くは高校の数学で学んだ物が使えるようになっています。
数学では項と言う構造物を使用する事で、処理の自由度を高める事が出来ましたが、数学では、 【 法則性を持った推移 】 を項のようにして使用する事で、法則性をコントロールする事が出来ます。これは、一次関数のy切片と同じ考え方になりますが、関数に対して関数を加算する事が出来ます。これは、単位円も例外ではないので、関数によって形を変える事が出来ます。
学校で学ぶ物は部品なので、部品を組みあわせる事で異なる事ができるようになっていますから、単位円に三角関数を加算すると、
■ 単位円＋sin(x)
■ 単位円＋cos(x)
のようなグラフになります。この係数を変えると、
のような波を作る事ができますが、
三角関数の係数 ＜ 半径の値
という形にすると、このような波が出ます。この数値を大きくすると、
のように単位円の中に波の要素を追加する事が出来、分離した部分と一体化した部分で分かれた形状を作る事が出来ます。