■　数式と形状

　先日は、

の中で

のような形状をグラフで生成しましたが、高校以降のカリキュラムだと、解析学の考え方が、幾何学と代数を結びつける物であり、幾何は代数で制御できるというイメージがしやすい物になっています。

　1日の記事

では、座標についても矩形の切り取りと言う集合演算やブーリアン演算を行う時と同じ状態になる事について触れましたが、その状態だと、

のような部位の切り抜きを行う場合、角がの位置は合っているので、

のような座標軸から異なるサイズの変域が設けられ得居るのと同じになりますが、この時に矩形を切り出そうと思うと、対角の頂点までの距離が必要になるので、横と縦で寸法を撮る事になります。これは、実際に部材を切り出す時に行う作業になりますが、この時に

のように切っていくと思います。当然、矩形の条件は4つの角が全て90度で平行となる二辺の長さは同じになるようにする必要があるので、この時のラインは座標軸の垂線になるようにラインが伸びています。この作業を点からの距離を用意して垂線を伸ばして交点の位置まで切り取ると用意した形状の切り出しが行えますが、この時の作業は、

の位置の座標の取得と同じものになります。小学校の算数で登場する比例・反比例のカリキュラムでも

　　　■　座標軸

　　　■　座標

は登場しますが、座標の取り方はこの考え方になります。そして、比例の場合、原点を通る条件だと、

の2点が出来るので、ここを通るグラフが生成されます。そうなると、相似の関係にある矩形を同じように並べた場合、原点から伸びるライン上に座標が重なる状態になりますから

のような状態になります。この2つの矩形は正方形なので、原点と座標で構成された対角線の延長線上に相似の正方形の角も来るので、画像のような状態になります。その耐え目、座標は、角から長さを計って切り出す時の方法と同じ状態になります。ただし、使用するのは対角線部分なので、【　三角形　】　として考える方法で学ぶことになると思います。

　また、この状態で考えると、座標を寸法として考えると、この図形の面積を出せるので、正比例のグラフの場合、小学校の算数で登場した幾何学の面積のカリキュラムで学んだ公式を使う事で、特定のX座標で垂線を引いた時にできる三角形の面積を出す事もできます。

　解析学ではグラフを使いますが、中学校のカリキュラムでも

　　　■　関数　：　線分

　　　■　変域　：　図形（矩形）

を扱うので、数式の条件に対しての拡張を使用する事になりますし、変域自体が図形の抽出やデータの範囲抽出なので、集合演算と言う代数や幾何学とは少し違う分野として学ぶ物を解析学和歌に持ってきた物が　【　変域の指定　】　になります。その為、変域については、　【　上限と下限をしてした物　】　なので、この指定は　【　二次元的に指定したバンドパスフィルター　】　になりますが、高校のカリキュラムだとこれを連立不等式と言う形で扱う事で図形を取得する事が出来るようになります。

　中学校のカリキュラムでも　【　面積を出す　】　と言う二次元的なアプローチと、【　その三角形に対して軸回転を行ってできる円錐の体積を出す　】　カリキュラムがありますが、これも面積を　【　形状の指定　】　と考えると、

　　　■　矩形以外の平面図形の生成

　　　■　立体図形の生成

として考えることができますが、

　　　■　平面　：　１つのデータの推移

　　　■　立体　：　２つのデータの推移

を平面座標と空間座標で示したものになりますから、これは、データの推移を形状で示した物なので、法sく正の中に存在するデータの範囲を示した物になります。空間上に物体が存在している場合もその形状の物体が体積を要しているので、その芭蕉の空間が空気ではなくその物体に占有され得居る訳ですから、その物体が変域を持って配置されているのでその状態になっていると考えることができます。

　グラフ上に変域を設けた場合、変域の位置は座標で制御できますが、中学校で学習する変域に対して高さ方向の推移を与えると立体になるので、現実世界の空間上に存在する箱を想定した場合、その範囲を示す変域が存在していて、その座標の変化によって状態を変えていると考えることができます。この考え方ですが、ベクターグラフィックもその考え方なので、平面の矩形の場合だと、スプライトや四角形のポリゴンが同じ考え方になりますし、立方体や直方体の場合だと、マイクラのブロックのような形状になりますが、こうした形状は、アタリ判定で使用するヒットボックスなどでも使用する事があります。

　解析学で使用するグラフは、データを図形で示す物ですから、集合と論理で登場するベン図を関数のような法則性で発生した範囲に適応して視覚的に判断する事が出来る便利なツールになります。この判断をする際に、

　　　■　論理　：　結果の有無で判定

　　　■　集合　：　集合に対しての条件抽出

と言う方法で判定を行う物になりますが、この場合、状態の確定と言う物になっています。その為数値の変化を示すようなグラフだとこの判断は少し難しいので、

【　グラフの解に対して集合演算をかける　】

と言うかなり特殊な処理を行うために使うのが変域と言う不等式を使った処理になります。

不 等式を使う　　　　　　　　　　　　　

　小学校の算数では、1年生の段階でたし算とひき算が登場するので、【　＝　】　のような等号が登場します。これは、一致を示すものになりますが、高学年になると範囲を指定する時に使用する　【　＞　】　や　【　＜　】　のような不等号が登場します。その為、小学校のカリキュラムでは、

　　　■　等　号　：　一致の条件

　　　■　不等号　：　範囲指定

の方法を考えることになりますが、範囲は一致の判定を範囲分だけ行った物なので、等式の集合を集合分だけ全て書き連ねる状態を記号による範囲指定を行う為に不等号を使う事になります。

　不等式を用いると、一次元だと上限とが腱を指定する事が出来ますが、これを数直線のような一次元で指定すると線分の長さを指定できるようになります。つまり、

　　　■　長さ　：　一次元の座標軸に変域を適応した物

になります。中学校の数学では変域を二地毛的に使用する尾で、

のように一次元の変域を各軸に適応する方法を学習します。変域も座標と同じで集合演算で判定をするので【　共通部　】を取得する事になります。

　このような比較については、数学だけでなく日常でも行いますが、範囲については一次元の指定のだとよく見かけるのではないかなと思います。●●以上、○○以下のような表記が比較になるので一次元の変域になりますが、これは数値の判定を行っているので判定レベルで見ると論理積（AND）で繋いだ物になりますし、集合で考えると共通部と考えることもできます。

　この判定も　【　条件として使用する　】　ので条件の達成と未達成で結果が異なるので、こうした判定は条件分岐でも使用されます。プログラミング言語でも等式・不等式を用いて判定を行いますが、この時に使用するのが比較演算子になります。

■　電気と条件分岐　　　　　　　　　　　

　中学校の物理では電気を数値として扱うカリキュラムが登場しますが、この中で登場すのはオームの法則と言う基礎分野になりますから、等式の形で数値を判断する事になります。基本的に設計をする際に数値を指定する事になりますから、定数で設計していく事になりますが、この条件だとと定数の指定と実行なので条件分岐は電圧のかかり方で判断するしかなくなります。

　この条件で考えるとスイッチ回路のような物を想定した考え方になりますが、この場合、【　通電の有無　】　と言う二値論理になりますから、判定の種類が論理演算になるので、比較子のような判定が出来ません。

　この条件で考えると、電圧の高さによって判定を行いその条件で動作する回路が作れない事になりますが、マイコンなどのコードを書かないパーツだけの構造でも回路内に不等号に該当する物を実装する事が出来ます。この時に称する回路がコンパレーターになります。

　これは、特定以上の電圧になると動作する回路なので、こので圧の数値をコントロールして対象となる電圧を指定できるパーツになります。

　コンパレーターはオペアンプと言う物凄く汎用性の高いパーツとセットで登場するので、コンパレーター単体だと情報を見かけないかもしれませんが、構造的には【　ハイパスフィルター　】として特定以上の電圧を通すパーツになっています。

　電気工作の場合、論理ゲートを使用できるロジックICが存在しているので、【　電圧の入力　】　と言う条件での判定はできますが、【　○○V以上の電圧　】　と言う電位差の状態は入力前に行う必要があります。この時にコンパレーターからの電圧を取得するようにしてICが壊れないような電圧で入力を行うと、コンパレーターの空の判定を取得できるので特定以上の電圧の入力を判定医持ってくることができます。電圧の変化で動作する物に　【　各種センサー　】　がありますが、このセンサーから発生する電圧を規準にした場合、コンパレーターで通電するような流れにすると、センサーの状態での判定を実装できます。スイッチのような通電をする条件を用意しておいて、回路内でのスイッチによる通電とセンサーの入力の条件をANDで繋ぐとセンサーの値が特定の条件の時にスイッチを押した時だけ動作する仕組みを作る事が出来ます。NOTゲートで反転させると、コンパレーターで指定した電圧未満の時だけ通電する回路になるので、こうした判定を行う際の基準値を作る事が出来ます。これを制御する時にオペアンプを理解して使えるようにしておいた方が回路の拡張がしやすいので、オペアンプとセットでコンパレーターを使う事例が多く紹介されています。

関 数とデータ　　　　　　　　　　　　　

　中学校１年生の数学では一次関数が登場しますが、係数によってかあ向きを変更する事が出来ます。この時の変化は原点がスタート地点ですから、【　法則性　】　を示したものになります。

　法則性を実行するとしてもその時のスタートラインが異なると結果が異なるので、X=0と言うスタートラインで影響を与える要素を加えていない状態の物が実装された関数で発生する数値の変化になります。その為、スタートラインでの状態は追加要素なので、y切片は追加した要素になります。

　その為、　【　y=ax+b　】　の場合、　

　　　■　ｙ＝ax　：　関数のグラフ

　　　■　ｙ＝ｂ　：　定数のグラフ

なので、

のような関数のグラフと

のような定数ノグラフを組み合わせた物になります。その為、これを組み合わせると、

のようにY切片の部分がかさ上げされるので

のようなグラフが出来上がります。これを正の部分だけ切り取って比例ノグラフにしてみると、

のようなベース部分がY切片として存在していて、そこから法則性が増加している状態になりますから、Y切片の考え方は関数の実行前の初期値と言う事になります。原点を通る場合、X切片とY切片は原点0なので

のように切片はx=0,y=0と言う条件になります。Y切片が出来るとY=0のばあ所は原点以外に発生するので

のグラフのように符号がない場合にはx<0の場所にX切片が出来ます。関数は符号で向きが変わるので、

■　一次関数のＸ切片の変化　　　　　　　

　　　■　符号なし（正）　：　x＜０の方向に発生

　　　■　符号あり（不）　：　x＞０の方向に発生

するような仕様になっています。

　関数の場合、

のように線でグラフを生成しますが、これはデータの外形線なので、実際のデータは、

のようになっています。その為一次関数は点対象の直角三角形で構成されているので、この条件で考えると、

のように重ねた時に図形のに対して集合演算を行ってトリミングが出来るというのもイメージしやすいと思います。この時に存在したデータの部分を除去すると、

のようになります。これも考え方としては変域と同じ考え方の範囲指定の一種になりますが、定数ではなく関数で不等式を作るとこのように別の関数のトリミングや合成を行う事が出来ます。

　高校の数学では三角関数で単位電が登場するので、

のように係数の変化で半径をコントロールできるのですが、単位円単体だと定数の値を変更しても半径のコントロールが行えますが、不等式の範囲として使用する際には係数を指定しないと単位円の式になってしまうので、面積のコントロールが出来ません。そこで、楕円を作る時のように係数で各軸の係数をコントロールする事で円や楕円のサイズをコントロールする事が出来ます。

　図形の不等式を　【　円形状以上、別の関数の結果未満　】　のような形で生成すると、