先日は
にてグラフについて書きました。
中学校3年生までの数学だと、二次関数などが登場し、物理でオシロスコープを使った自然界の波の波形を見ているとは思いますが、基本的に 【 繋がっている波形 】 であり、変数の推移に追従する形のグラフを見てみると思います。
高校の数学では、物理で見かける 【 波 】 を描ける関数が登場する訳ですが、数学I辺りから物理と数学の垣根がなくなり始めます。
数学IIでは、三角関数を使いますが、ここで三角比とは異なる三角関数を用いる事になります。数学の場合、 【 基礎の拡張 】 なので、三角関数の前に 【 三角比 】 を学びますが、この基礎部分が、中学校で学ぶ 【 三平方の定理 【 や 【 特殊な三角形の比率 】 になります。
高校の数学Iは中学校までの基礎を使って学習した内容をさらに府あ掘りするような内容になっているのですが、数学IIも前述の三角関数と三角比のように数学Iの基礎が前提となって知識を拡張する物になっています。
中学校までだと見た事もない関数が出てくるのが高校の数学になりますが、 【 ガウス 】 などもその一つと言えます。
床 関数や天井関数を使ったグラフ
高校では、 【 ガウス 】 という形で 【 床関数 】 が出てきますが、この床関数も小数点数にするとノコギリ波のような推移をし始めるので、特殊な関数と言えます。
これは、プラスとマイナスで挙動が変わるので、
のように反転させることが出来るので、これを組み合わせると、
のような三角波のような状態にすることもできます。
先日も触れましたが、変数xに対して項を追加すると、座標変動が発生するので、
のようになりますが、項に対して数値を直接追加した場合、数式の増減とグラフ上の推移が反転した状態で反映されます。
また、一次関数ではなく、二次関数や分数の関数にも適応できるので、
のようにできますし、平方根のグラフにも適応できるので、
のようにする事も可能です。当然、分数の関数でも床関数や天井関数は適応できるので、
のようになります。
単 単位円
数学IIでは、数学Iで学習した 【 三角比 】 から三角形の制約を外した状態で考える 【 三角関数 】 を学びます。これは三角比の理解が前提でこれを三角形ではなくデカルト空間上の二次元平面上のグラフにおいて360度までの範囲でそれを使用できるようにするために用意された円になります。
のような数式を用意すると、グラフ上に半径１の円が生成されます。
先日は、これに床関数を加えて、
のようにしたり、XとYが独立しているので、この変数に対して項を加算して
のように動かす事が出来ることを紹介したのですが、単位円もグラフなので、サイズの変更もできます。この場合、
のよに単位円の半径を変更することで、
のように円のサイズを変更できるわけですが、これは、数式上の係数の変化でも対応できるので、
のようにする事で、単位円のサイズを変更する事ができます。
その為、単位円は、数式の項や係数の変更をするだけで
■ 拡大縮小
■ 座標移動
が行える仕様になっています。ちなみに、床関数を単位円に適応した場合には、1未満と言う条件が存在しないようで、
のような状態になります。この矩形が出来る内容についても先日触れましたが、これも項の変化で調整できるので、
のようなこともできます。小学校１年生だと、種類ごとに分類して数が幾つあるのか？を確認するような授業がありますが、単位円でも座標変動が出来るので、
のように配置する事ができます。これを見ると、1つの図形が一つの関数なので、 【 オブジェクト 】 として考える事が出来る訳ですが、その拡大縮小と移動を行う事もできるので、グラフ上にこうした図形の配置が出来るようになっています。その為、グラフィックは数学の知識で構成されており、統計学の分野の産物が美術や芸術の分野で使用されている事例になります。
二 変数関数
アナログしかない時代だと、グラフを書くという概念がない状態で済ましている場合もありそうですが、変数が２つ存在するグラフも存在します。これが二変数関数になりますが、このカリキュラム自体は高校の数学IIで登場します。
今は、
■ GeoGebra
https://www.geogebra.org/?lang=ja
があるので、この二変数関数もグラフを見ながら学習できるいい時代になりましたが、二次関数を一つの変数ではなく、二つの変数で適応すると、立体になります。
のようにすると、
のように、軸回転した場合にどこから見ても二次関数の形状が成立した立体が生成されます。当然、単位円のように座標がここまで明確に分離している場合、平面軸状の移動が出来るので、
のように項を追加することで、立体形状を移動させることができます。
とすると、
のような反比例のグラフになりますが、これも二つの変数で空間の指定を指定しているので、座標をコントロールする事ができます。
■ 床関数・天井関数
このように二変数関数では、床面に平面が存在し、高さと言う概念を持ったグラフで表記できるのですが、このグラフにも床関数などを適応できます。先程の
のグラフの数式に対して床関数を適応して、
のようにすると、半径の異なる円柱が積み重なったような形状になります。
また、グラフを
のようにすると、
のように円弧がすぼまるような形になるので、これに段差が出来る状態になりますが、
のように床関数と天井関数を組み合わせた物を用意すると、
のようになります。高さが違うので、見えている部分だとこんな感じになりますが、ズレた形でオブジェクトが配置されます。
では、グラフ全体ではなく、
のように変数自体の小数点数を切り捨てるように床関数を適応すると、
のようにキューブ上に形状が推移するようになります。
ここまでは、整数の推移ですが、小数点数の場合だと、
のような推移をするので、
のように適応してみると
のような形状になります。
■ 三角関数
三角関数も二変数関数を使うと立体的に出来る訳ですが、
のようなグラフにすると、
のようになります。このように曲線的な部分を直線的に表現した形状が出来上がります。では、これを、
のようにカーブの特性を合成すると、
のような波の推移になります。また、
のようにすると、
のような推移になります。グラフの構造を変えて
のように指数関数を加えてみると、
のような面白い形になり、拡大してみると、
のように床関数や天井関数の影響が出て階段状のカーブが生成されています。
また、
のような式にすると、
のように面白い推移をする形状が出来上がりました。
■ 見え方の違い
床関数を使った平面のグラフでも引きで見ると小さな推移が見えなくなりますが、二変数関数でも同様の事が言えます。
のような式を作ると、
のような推移になりますが、引きで見るとディテールが変わってきます。
この高さを変更する場合にいは、
のように係数を加えると、
のようにグラフの状態が変わります。この状態で、引いていくと、
のように距離で高さが解らなくなる地点が出てきます。これが3DCGでのディテールの見え方の変化になります。一番最後の状態になると、凹凸の計算をしなくても大丈夫になりますが、こうした距離とディテールの変化が発生するので、映像として表示するコンテンツの場合だと、こうしたディテールの変化をトポロジーとリトポロジーにょってコントロールしています。
引きの状態でディテールを出す場合、この係数を置きくすれば
のように広範囲であっても凹凸を表現できますが、小さなディテールの場合、特定の距離いじょ離れた場合には見えなくなる特性があります。
床関数を適応した場合、三角関数などの曲線を描く関数も直線部分が出てくるので、
のような式を作ると、
のような形にすることができます。
立 立体形状
一変数関数だと、単位円のように二軸を自由に使える物も存在しましたが、ユークリッド空間上でも同じような記述をすると、立体形状を作って残軸で座票のコントロールができます。デカルト平面で二変数の式を書くことで円を描けましたが、これを高さ方向にまで適応すると球を作ることができます。
また、式を変形して、
のようにすると、
のように砂時計のような形状が出来上がります。
この数式の変数に床関数を適応したら表示できなくなったので、そう言った処理はできないようです。（球体に適応したらマイクラみたいになるかな？と思ったのですが無理でした。）
そして、球体は三軸の座標が個別に用意されているので、
のように数式だけでユークリッド空間上の任意の場所に配置する事ができます。