反比例のグラフの特徴

問題１

aは０ではない定数とする。

$y=\frac{a}{x}$ のグラフは原点対称であることを示せ。

解答

$(x,y)=( \bar{x},\bar{y})$ が反比例のグラフ上の点であるとします。

そのとき、

$\bar{y}=\frac{a}{\bar{x}}$

が成立します。

ゆえに、

$-\bar{y}=\frac{a}{-\bar{x}}$

より、 $(x,y)=( -\bar{x},-\bar{y})$ も反比例のグラフ上にあります。

したがって、題意は成立します。

問題２

aは０ではない定数とする。

$y=\frac{a}{x}$ 上の点P $(\bar{x},\bar{y})$ を通りx軸に直線な直線とx軸との交点を点Qとし、点Pを通りy軸に垂直な直線とy軸との交点を点Rとする。そのとき、長方形OQPRの面積は|a|になることを示せ。

解答

a>0の場合を示します。

点P $(\bar{x},\bar{y})$ は $y=\frac{a}{x}$ 上の点なので、

$\bar{y}=\frac{a}{\bar{x}$

すなわち

$\bar{x} \bar{y}=a$ ・・・①

が成立します。

(I) $\bar{x},\bar{y} > 0$ のとき

下図より

長方形OQPRの面積は、①から

$\bar{x}\times \bar{y}=a$

となります。

(Ⅱ) $\bar{x},\bar{y}$ <0のとき

下図より

長方形OQPRの面積は、①から

$(-\bar{x})\times (-\bar{y})=\bar{x}\bar{y}=a$

となります。

したがって、a>0のときに長方形OQPRの面積はaとなります。

一方、a<0のときは、a>0の場合と同様に考えて、長方形OQRPの面積は-aとなります。

以上より、題意は成立します。