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物理学レターA
第525巻、2024年11月15日、129886
Physics Letters A
Volume 525, 15 November 2024, 129886
抽象的な
双子のパラドックスは特殊相対性理論(SR) における古典的なパズルであり、通常、宇宙でのロケットの運動に関連して、双子の一方のフレームの加速によってもたらされる非対称性を認めることで解決されます。同様のパラドックスは、加速システムがなくても、3 つ以上の慣性システムが関与して発生します。これは通常、時計の同期と同時性という相対論的概念を使用して解決されます。ここでは、双子が球対称の重力場を持つ中心質量の周りを反対方向に同一の円軌道を横断する 2 つの自由落下システムに対してパラドックスを再定式化します。この再定義されたバージョンのパラドックスは、元の問題に内在する非対称性を排除します。両方のフレームが自由落下しているため、アインシュタインの等価原理に従って局所的に慣性であると見なすことができます。さらに、他のフレームの時計との同期は必要ありません。我々はこのパラドックスの潜在的な解決策を探り、 SR におけるローレンツ変換の解釈が誤っている可能性があることを指摘します。
1.はじめに
双子のパラドックス（または時計のパラドックス）は、何十年にもわたり大きな関心と熱心な議論の的となってきました[1]、[2]、[3]、[4]、[5]、[6]、[7] 。これは、慣性系の相対運動から生じる時間の遅れの影響を探る、アインシュタインの特殊相対性理論（SR）における最も有名なパラドックスの1つです。このパラドックスは次のように定式化されます。一卵性双生児が2人いて、1人は家に留まり、もう1人はロケットで相対速度で宇宙に旅して、家に帰ってきます。彼らの相対運動により、SRによれば、それぞれの双子の時間は異なる速度で進むはずです。彼らが再会したとき、それぞれの双子は相手が若いと観察するはずです。これは、動いている時計の逆膨張を予測するローレンツ変換の直接的な結果です。
このパラドックスに対する最も広く受け入れられている解決策は、ポール・ランジュバン[8]によるものです。彼は、ロケットに乗っている双子が加速を受けるため、状況が完全に対称ではないことに着目しました。その結果、移動中の双子は、家にいる双子よりも老化が遅くなります[4]、[9]、[10]。
加速の影響を排除するために、双子のパラドックスの様々な修正が提案されている。例えば、閉じた宇宙のシナリオでは、双子は方向を変えることなく地球に戻ることができるため、旅する双子の加速は回避される[11]、[12]、[13]。もう一つの修正は「三兄弟」のパラドックスで、三人目の兄弟が持つ三つ目の時計を導入する。角を曲がって戻ってくる代わりに、旅する双子の時計は、既に地球に向かって反対の速度で動いている三つ目の時計と同期する[3]。
加速を伴わないこれらの修正パラドックスの解決策は、古典物理学とSRの同期概念の違いを理解することにあります。具体的には、SRにおける同時性の概念は古典物理学のそれとは根本的に異なります。その結果、「三兄弟」パラドックスでは、静止、出発、帰還の各慣性系がSRにおいて異なる同時性を経験し、それが異なる老化につながります[14]、[3]、[4]。
加速や同期の議論に基づく広く受け入れられている解決策にもかかわらず、相対論の文献ではこれらの議論が不適切または非物理的であると考える異論があります。彼らは双子のパラドックスをSRの論理的矛盾の証明と見なし、時間と空間の相対性の概念に異議を唱えています[15] 、 [ 16]、[17]、[18]、[19 ] 、[20 ] 、 [ 21]、[22]、[ 23]、[24]、[25]。特に、物理学者ハーバート・ディングルは、特に双子のパラドックスの検討を通じてSRに対してかなりの批判を提起し[26]、[27]、[28]、[29]は、広範囲にわたる議論と論争を巻き起こし、数年にわたってネイチャーに掲載されました[15]、[30]、[31]、[32]、[33]。ディングルによるSR批判の全容はチャン[34]によって詳細に記述され、解説されている。
本論文は、特殊相対性理論および一般相対性理論（GR）において解釈が依然として不明確または議論の的となっている、もう一つの単純な思考実験を提示することにより、双子のパラドックスをめぐる継続的な議論に貢献することを目的としている。重力場における自由落下系に焦点を当てていることから、相対性原理の拡張として考えられるアインシュタインの等価原理[35]、[36]、[37]、[38]の妥当性も検証できる可能性がある。本論文は、慣性系および自由落下系における観測者の相対運動に起因する相対論的時間の遅れに関する理解を深めるのに役立つであろう。
2.重力場における双子のパラドックスの定式化
双子のパラドックスとそのバリエーションの定式化には、基本的な困難が伴う。(i) 標準的なバージョンでは、移動する双子が経験する加速によって、固有の非対称性が存在する。(ii) 加速のない完全対称バージョンでは、追加のフレームとクロック同期を導入する必要がある。これらの問題は、以下のパラドックスの定式化によって解決できる。
真空中で巨大な球対称天体の周りを周回する衛星に搭載された双子（または時計）を考えてみましょう。これらの衛星は、同一の静止円軌道を同じ速度で、かつ反対方向に飛行します（図1参照）。重力と遠心力が釣り合い、衛星は自由落下系となり、双子は加速を感じません。このシナリオは完全に対称的であり、双子は軌道上の2つの定められた点（極角0 ∘と 180 ∘で指定）で繰り返し衝突します。
図1
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図1重力場の中にある2つの衛星が中心の大質量天体の周りを周回する模式図。P 1と P 2は衛星の遭遇点、φは極角、v 0は衛星の周回速度、Rは軌道半径である。
「円形」双子のパラドックスは、元の双子のパラドックスによく似ています。それぞれの双子の視点から見ると、もう一方の双子は繰り返し遠ざかったり近づいたりしています。相互の速度は時間に依存し、双子間の距離が最大のときにゼロになり、双子が出会ったときに最大になります。古典的な双子のパラドックスとの本質的な違いは、どちらの双子も加速を感じていないことです。したがって、それぞれの双子は自分の座標系を静止し、もう一方の座標系を動いていると見なすことができます。さらに、この定式化では、双子が繰り返し出会い、そのうちの1回で時計を同期させることができるため、他の座標系との時計同期の必要性がなくなります。当然のことながら、次回以降の出会いで双子の時計が示す時刻を決定しようとします。
直感的には、問題の完全な対称性から、双子の時計は出会うたびに同じ時刻を示すと予想されるかもしれません。しかし、SRとGRの原理を考慮すると、状況はより複雑になります。すべての慣性系において、固有光速度はcで一定であり、ローレンツ変換は系間の時間の遅れを予測します。同様に、すべての自由落下系において固有光速度はc のままであるため、ローレンツ変換は依然として適用されるはずです。その結果、系間の相対運動による時間の遅れが発生し、双子はそれぞれ相手を年下と認識するはずです。そして、年齢差は出会うたびに徐々に拡大していくはずです。
2.1 .パラドックスの数学的記述
半径Rの軌道に沿って反対方向に速度で周回する2つの衛星を考えてみましょう。
（図1参照）。衛星間の相対速度は相対論的速度加算式[39、式5.2]で記述される。
（1）
どこ
中心質量体の座標系における衛星の速度を表す。
は角速度であり、
は軌道周期、tは時間である。時間の遅れdtはSRに従って次のように表される。
（2）
ここでγはローレンツ因子である。したがって、動いている時計が時間を示しているのに対して、静止している時計の時間tは
は
（3）
衛星が1周回した後、
、軌道時間の遅れ
は
（4）
問題は完全に対称的なので、双子は同じ年齢であり、双子が繰り返し会うときには両方の衛星の時計が同じ時刻を示すはずであることは明らかであるように思われる。しかし、
等しい
式(4)において、時間の遅れに関する式(2)～(4)は誤りであるか、この場合には適用できない。
のみに当てはまります
; その他の値については
、私たちは
。 ご了承ください
さらに、
cに近づきます。
2.2 .このパラドックスの解決策は何ですか?
前述のパラドックスを解決するには、時間tと時間tを関連付けるローレンツ変換が
SRにおける相互に移動する系におけるこの理論は、このシナリオにも適用可能である。もし適用可能ならば、それが物理的に正当化され、適切に解釈されるかどうかを検証する必要がある。
衛星が自由落下系であることを考えると、アインシュタインの等価原理[35]、[36]はそれらがミンコフスキー時空の慣性系と同様に振舞うことを保証する。さらに、衛星は中心天体から一定の距離を維持し、一定の重力ポテンシャルを保証するため、重力シフトを考慮する必要はない。唯一必要な補正は相対論的な時間の遅れに対するもので、これは困難なものではないはずである。同様の補正は地球を周回する衛星に適用されており、例えばGPS衛星データでは日常的に使用されている[40]、[41]。ここでの違いは、GPS補正は衛星と地球表面の観測点の間で計算されるのに対し、我々は2つの衛星間の相対論的補正を計算しようとしていることである。したがって、提示されたパラドックスで時間の遅れを計算するためにローレンツ変換を適用すべきでないという明白な理由はない。
次に、このパラドックスがローレンツ変換の誤った使用や誤解から生じる可能性があるかどうかを検証します。相互に移動する系間のローレンツ変換は
そして
は次の式で表される[39、式4.3]
（5）
（6）
そしてその逆は
（7）
（8）
どこ
はローレンツ因子、速度vはx軸に沿っており、
、
。
これらの方程式はローレンツ不変性条件を満たす
（9）
簡単のため、式(5)～(9)では、フレーム間の相対速度vが一定であり、したがってローレンツ因子γも一定であると仮定する。ローレンツ変換を時間依存の
式(2)の式は付録Aに示すように簡単です。
式（5） - （9）の物理的な意味を理解するために、まず元の時間tと変換された時間tの関係を調べる。
座標の原点に位置する物体の場合
式(7)と式(8)を用いると、
（10）
（11）
式（10）は、2つの慣性系間の相対論的時間の遅れを表す標準方程式であり、時間
運動系における時間tは、静止系における時間tよりも遅く進む（図2の時計AとBを参照）。しかし、この解釈は誤解を招く。なぜなら、式（10）はtと
2つの相互に移動する物体の場合であり、一方の物体が固定されたままの状態は記述しない。
そしてもう1つは
いつでもtまたは
実際には、式(10)はtと
動いているフレーム内の同じ点にある2つの物体（
）すべての時間tまたは
（図3の時計BとCを参照）
（12）
図2
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図2 . SRにおけるローレンツ変換の標準的な解釈。フレーム( x , t )と( x ′, t ′)は非ゼロの相対速度vで動いている。ローレンツ変換は、すべての t に対して x = 0であるフレーム( x , t )の時計Aと、すべてのt ′に対してx ′ = 0であるフレーム( x ′, t ′)の時計Bとの間の時間の遅れを予測すると誤って想定されている。したがって、値が2の一定のローレンツ因子γを仮定すると、フレーム( x ′, t ′)で1時間後、時計Aは時計Bの2倍の時間を示すはずである。時間に依存するγの場合、時間t Aと
プロット中の は時間微分dt Aに置き換えられ、
。
図3
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図3ローレンツ変換の正しい解釈。フレーム( x , t )と( x ′, t ′)は非ゼロの相対速度vで動いているが、時計Bと時計Cは互いに静止している。ローレンツ変換は時計Bと時計Cの間の時間の遅れを予測する。簡単のため、ローレンツ係数γを2と仮定する。したがって、フレーム( x ′, t ′)で1時間後、時計Cは時計Bの2倍の時間を示す。時間依存のγの場合、時間
プロット中のt C は時間微分に置き換える必要がある。
そしてdt C。
これは、両方の時計（図3、時計Bと時計C）が互いに動いていないことを意味します。両方とも同じ点に位置し、互いに静止しています。
唯一の違いは、時計Bが時間を示していることです
時計 C は時刻tを示します。
時間tと
互いに移動する2つの物体に対しては、式(9)で定義されたローレンツ不変性条件を利用する必要がある。フレームの最初の時計が
に位置しています
すべての時刻t（図4、時計A）とフレーム内の別の時計
所在地
いつでも
（図4、時計B）。
そして
式（９）で表されるローレンツ不変性条件に代入すると、
（13）
これは、互いに移動する時計（図4 、時計Aと時計B）では時間の遅れは観測されないことを意味します。付録Aで説明されているように、時間によって変化するローレンツ因子γを考慮しても、同じ結論に達します。
図4
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図4ローレンツ変換の正しい解釈。フレーム( x , t )と( x ′, t ′)は非ゼロの相対速度vで動いている。簡単のため、ローレンツ係数γの値は2と仮定する。ローレンツ変換は、すべてのtに対してx = 0のフレーム( x , t )の時計Aとすべてのt′に対してx ′ = 0のフレーム( x ′, t ′)の時計Bの間に時間の遅れがないことを予測する。時間依存のγの場合、時刻t Aと時刻t
プロット中の は時間微分dt Aに置き換えられ、
。
3.議論
我々は、移動系間の時間の遅れがローレンツ変換の誤った解釈に起因することを実証した。ローレンツ変換を適切に解析すると、移動系内の時計は相対速度に関わらず同じ時刻を示すことが示される。これは、重力場における双子のパラドックスを解明するものである。双子は質量の大きい球対称天体の周りを高速で反対方向に周回しながら、繰り返し出会う。物理的に意味のある理論においては、時計は同じ時刻を示す必要があることは明らかであり、ローレンツ変換はこの観察結果と整合する。同様の議論は、ローレンツ変換が双子が再会した際に年齢の差を予測しないという古典的な双子のパラドックスにも適用できる。
この理解を踏まえて、式(10)で表される時間の遅れを物理的にどのように解釈するかを検討する必要がある。前述のように、この式は図3の時計Bと時計Cの関係に適用される。両方の時計は互いに静止しており、時計Bはフレームの原点に位置している。
クロックCはフレームの一部であると考えられる
時計Cは時計Bに対して静止しているが、フレームの原点に対しては動いている。
式(10)は時計Bと時計Cが異なる時刻を示すと予測しますが、これは物理的に不合理です。相対速度がゼロの空間上の同じ点にある時計が異なる時刻を示すことはあり得ません。
しかし、時計のこの特異な挙動の理由は明白です。ローレンツ変換は、光速度cを両方の系の原点に対して一定に保つことを目的とした正式な数学的構成です。
そして
したがって、この要件を数学的に満たす他の方法は存在しません。したがって、この変換は純粋に形式的なものと捉えるべきであり、単位を調整することで光速の一定性を維持します。時間と長さの測定に使用される単位は、光速の数値が同じになるように変更されます。明らかに、この再スケーリング手順は物理的なものではありません。
これは、すべての慣性系で光速度が一定であるという要件が、物理的観点からは疑問である可能性があることを示唆しています。したがって、光速度の不変性を測定する干渉実験[42]、[43]、[44]、[45]、[46]、[47]は、いくつかの著者[48]、[49]、[50]によって指摘されているように、慎重に再評価され、適切に再解釈される必要があります。 Vavryčuk [51]によって示されているように、ローレンツ変換は、これらの実験のヌル結果と一致する唯一の変換ではありません。たとえば、ドップラー変換は物理的により正当化され、エーテルドリフト実験でヌル結果を予測します。 この場合、すべての慣性系で光速度が一定であるという原理は、信号（エネルギー）光速度ではなく位相光の速度に適用されるように定式化されます。さらに、ドップラー変換では、図3のクロックBとCの刻み速度に違いは生じません。
ローレンツ変換は直接的な物理的意味を持たないものの、SRとGRの両方における問題を解く上で依然として有用なツールとなり得ることに留意すべきである。形式的なパラメータ化として機能し、様々な相対論的問題の数学的処理を簡素化する可能性がある。したがって、物理学への応用が期待されるものの、その物理的解釈には常に注意を払うべきである。