<T,C,eC> と <tT,tC,bC> の解説
この記事については、私「karaokegurui@ameblo」の著作権を主張します。また、無断引用を禁じます。これまで7回にわたって合計で9種類のブロック積みを取り上げてきました。それらは全て正ブロック積み <C> から派生するブロック積みでしたが、その系統は前回でお仕舞いです。しかし、ブロック積み自体はまだまだ残っているので、残りを順次取り上げていきます。第8弾として、次の2種類を見ていきます。・正4面体・立方体・斜方立方8面体ブロック積み <T,C,eC>Runcinated alternated cubic honeycomb - Convex uniform honeycomb - Wikipedia（こちらは残念ながら拡大しません。）・切頂4面体・切頂立方体・切頂立方8面体ブロック積み <tT,tC,bC>Cantitruncated alternated cubic honeycomb - Convex uniform honeycomb - Wikipediaこの両者はいずれも結晶構造として塩化ナトリウム型構造B1 をもつという共通点があります。 B1(C,eC)，B1(tC,bC)同様にB1構造をもつブロック積みとしては、以前 <tT,aC,tO> を紹介しました。Truncated Alternated Cubic Honeycomb - Convex uniform honeycomb - Wikipediaこれら3者を比較してみます。結晶のB1構造は2種類の“イオン”で構成されますが、これらのブロック積みはいずれも3種類の多面体を含むため、残り1種類は隙間を埋める役割を果たします。 B1構造をもち3種類の多面体から構成されるブロック積み3種ブロック積み 構造1 構造2 隙間 .<T,C,eC> eC C T<tT,aC,tO> tO aC tT<tT,tC,bC> bC tC tT(注) 「構造1」はB1構造を形成する多面体のうち大きい方、「構造2」は同じく小さい方、「隙間」は隙間を埋める多面体。詳しい説明は最後に行います。ここからは <T,C,eC> と<tT,tC,bC> について 個別に解説しそれぞれの配置行列を求めます。<T,C,eC> では、最初に胞の色付けをみると、青がC，ピンクが aC，白と灰色が T です。稜が2種類あり、{3} の辺となっているのを a、なっていない方を bと名付けます。また、正方形の面も2種類あり、C と aC に挟まれているのを {4}，2個の aC に挟まれているのを {4}’ と名付けます。（正方形なので、「’」は { } の外側に付けます。）稜構成は、それぞれ |a：3 T 3 eC 4’ eC，|b：4 C 4 eC 4’ eC となっています。面構成は、{3}：T-eC,|a^3， {4}：C-eC,|b^4， {4}’：eC-eC,(|a |b)^2 となります。頂点は1種類で、1つの頂点に稜は |a が3本、|b も3本付き、面は {3} が3枚、{4} が3枚、{4}’ も3枚つながり、胞は T が1個、C が1個、eC が3個囲んでいます。構成要素比率は、C とeC が1個に対して T が向きの異なる白と灰色の2個あります。頂点、稜、面は、すべて eC の表面にあるので、eC のそれらから計算します。eC の頂点は全部で24個ありますが、1個の頂点に3個の eC が集まるので、独立なのでは 24／3＝8個です。eC の稜は全部で48本ありますが、うち |a と|b が24本ずつで、どちらについて1本の稜を2個の eC が 囲んでいるので、24／2＝12本となります。eC の面は、{3} が8枚、{4} が6枚、{4}’ が12枚ありますが、うち{3} の8枚と {4} の6枚はそのまま、 {4}’ だけは2個の eC に挟まれているので、12／2＝6枚となります。以上から得られる <T,C,eC> の配置行列について、今回は複雑なので、簡易形と展開形の両方を示します。一部使うので、胞である T，C，eC の配置行列(中間形)も示しておきます。 [ 4 3 3 ] [ 8 3 3 ] [ 24 2+2 1+1+2 ]T＝ [ 2 6 2 ] ，C＝ [ 2 12 2 ] ，eC ＝ [ 2 24+24 2 ] ． [ 3 3 4 ] [ 4 4 6 ] [ 3|4|4 3|4|4 8+6+12 ] [ 8 6 9 5 ]<T,C,eC> ＝ [ 2 12+12 3 3 ] [ 3|4|4 3|4|4 8+6+6 2 ] [ 4|8|24 6|12|48 4|6|26 2+1+1 ] [ 8 3+3 3+3+3 1+1+3 ]＝< [ 2 12+12 2+0+1|0+2+1 1+0+2|0+1+2 ] ． [ 3|4|4 3+0|0+4|2+2 8+6+6 1+0+1|0+1+1|0+0+2 ] [ 4|8|24 6+0|0+12|24+24 4+0+0|0+6+0|8+6+12 2+1+1 ]検算は次の通り。オイラーの公式(簡易形)： 構成要素比率；8－(12+12)＋(8+6+6)－(2+1+1)＝28－28＝0， 胞；T 4－6＋4＝2，C 8－12＋6＝2，eC 24－48＋26＝2，頂点図形；6－9＋5＝2 ．展開形の検算（最右辺は簡易形の数字を使う）N12：12×2+0：0+12×2：12+12＝24：24：24＝3×8：4×6：4×6．N13：12+0：0+12：12×2+12×2＝12：12：48＝6×2：12：48．N21：3×8+0+2×6：0+4×6+2×6＝36：36＝12×3：12×3．N23：8+0+0：0+6+0：8+6+6×2＝8：6：26＝4×2：6：26．N31：6×2+0+24：0+12+24＝36：36＝12×3：12×3．N32：4×2+0+8：0+6+6：0+0+12＝16：12：12＝8×2：6×2：6×2．次は、<tT,tC,bC> の配置行列です。画像を見ながらお読みください。胞は3種類あり、色付けは緑が bC，茶色が tC，水色が tT です。面は、{3}，{4}，{6}，{8} の4種類あります。稜は3種類あっていずれも3価であり、稜構成は次のとおりです。 |a：3 tT 6 bC 8 tC，|b：4 bC 6 tT 6 bC，|c：4 bC 8 tC 8 bC ．面構成は、次の通りです。 {3}：tT-tC, |a^3， {4}：bC-bC, (|b |c)^2， {6}：tT-bC, (|a |b)^3，{8}：tC-bC, (|a |c)^4 ．頂点は1種類で、1個の頂点に、胞は tT が1個、tC が1個、bC が2個集まり、面は {3} 1枚、{4} 1枚、{6} 2枚、{8} 2枚が集まり、稜は全部で4本つながっていて、うち |a が2本、|b が1本、|c が1本です。構成要素比率は、tC と bC が1，tT は向きの違う(空間反転の関係にある)2種類があるので2となります。bC の頂点は全部で48個ありますが、1個の頂点にbC が2個ずつ集まるので、独立なのは 48／2＝24個です。同じく稜は全部で72本あり、うち |a が24本、|b が24本、|c が24本ですが、このうち |a は bC が1個、|b と |c は bC が2個ずつ接しているので、24，12，12 となります。面は bC だけでは尽くせないので、tC と bC 各1個のセットで考えると、{3} 8枚、{4} 12枚、{6} 8枚、{8} 12枚ありますが、{4} と {8} は2で割ると、順に 8枚、6枚、8枚、6枚となります。<tT,tC,bC> の配置行列(簡易形と展開形)を示すとともに、胞である tT，tC，bC の配置行列(中間形)を掲げておきます。 [ 12 2+1 1+2 ] [ 24 2+1 1+2 ] [ 48 1+1+1 1+1+1 ]tT＝[ 2 12+6 2 ] ，tC＝[ 2 24+12 2 ] ，bC＝ [ 2 24+24+24 2 ] ． [ 3|6 3|6 4+4 ] [ 3|8 3|8 8+6 ] [ 4|6|8 4|6|8 12+8+6 ] [ 24 4 6 4 ]<tT,tC,bC> ＝ [ 2 24+12+12 3 3 ] [ 3|4|6|8 3|4|6|8 8+6+8+6 2 ] [ 12|24|48 18|36|72 8|14|26 2+1+1 ] [ 24 2+1+1 1+1+2+2 1+1+2 ]＝<[ 2 24+12+12 1+0+1+1|0+1+2+0|0+1+0+2 1+1+1|1+0+2|0+1+2 ]． [3|4|6|8 3+0+0|0+2+2|3+3+0|4+0+4 8+6+8+6 1+1+0|0+0+2|1+0+1|0+1+1] [12|24|48 12+6+0|24+0+12|24+24+24 4+0+4+0|8+0+0+6|0+12+8+6 2+1+1 ]稜が2種類、面が4種類、胞が3種類あるので、展開形はやたら複雑です・・・検算は次の通り。オイラーの公式(簡易形)： 比率；24－(24+12+12)＋(8+6+8+6)－(2+1+1)＝24－48＋28－4＝52－52＝0， 胞；tT 12－18＋8＝2，tC 24－36＋14＝2，bC 48－72＋26＝2， 頂点図形；4－6＋4＝2．展開形の検算（最右辺は簡易形の数字を使う）N12：24+0+0：0+12+12：24+12×2+0：24+0+12×2＝24：24：48：48 ＝3×8：4×6：6×8：8×6．N13：24+12+0：24+0+12：24+12×2+12×2＝36：36：72 ＝18×2：36：72．N21：3×8+0+3×8+4×6：0+2×6+3×8+0：0+2×6+0+4×6＝72：36：36 ＝24×3：12×3：12×3．N23：8+0+8+0：8+0+0+6：0+6×2+8+6＝16：14：26 ＝8×2：14：26．N31：12×2+24+24：6×2+0+24：0+12+24＝72：36：36 ＝24×3：12×3：12×3．N32：4×2+8+0：0+0+12：4×2+0+8：0+6+6＝16：12：16：12 ＝8×2：6×2：8×2：6×2．ここまで <T,C,eC> と <tT,tC,bC> の配置行列を別々に見てきましたが、ここからは両者の局所的・全体的性質を対比して列挙します。 <T,C,eC> <tT,tC,bC> 頂点図形 [6 9 5]＝P3 [4 6 4]＝T稜を囲む面・胞の構成（稜構成） 12 |a：3 T 3 eC 4’ eC， 24 |a：3 tT 6 bC 8 tC， 12 |b：4 C 4 eC 4’ eC 12 |b：4 bC 6 tT 6 bC， 12 |c：4 bC 8 tC 8 bC面を挟む胞と面を囲む稜の構成（面構成） 8 {3}：T-eC,|a^3， 8 {3}：tT-tC, |a^3， 6 {4}：C-eC,|b^4， 6 {4}：bC-bC, (|b |c)^2， 6 {4}’：eC-eC,(|a |b)^2 8 {6}：tT-bC, (|a |b)^3， 6 {8}：tC-bC, (|a |c)^4 ．稜の二面角の合計（二面角） |a：∠3 T 3 + 2∠ 3 eC 4 |a：∠ 3 tT 6 + ∠ 6 bC 8 + ∠ 3 tC 8 ＝∠1 + 2∠7＝360° ＝ ∠3 + 2∠5 ＝360° |b：∠ 4 C 4 + 2∠ 4eC 4 |b：2∠4 bC 6 + ∠ 6 tT 6 ＝ ∠2 + 2∠6 ＝360° ＝ 2∠7 + ∠1 ＝360° |c：2∠ 4 bC 8 + ∠ 8 tC 8 ＝ 2∠6 + ∠2 ＝360°空間反転に関する対称心の比率（対称心）ι： ({4{‘：C：eC}＝6：1：1 ι： ({4}：tC：bC)＝6：1：1回転に関する対称軸の構成（対称軸） 3×C4 ：4 C 4eC， 3×C4 ：8 tC 8 bC， 4×C3 ：・T 3 eC 3 T・C， 4×C3 ：3 tC 3 tT 6 bC 6 tT， 6×C2 ：4’ eC， 6×C2 ：4 bC， 6×C2 ：|b 4’ |b C 6×C2 ：|c 4 |c tC， 3×C2 ：|a T |a 4’ 3×C2 ：|b 4 |b tT鏡映に関する対称面の構成（対称面） Ref：3 (C1+eC1)， Ref：3 (tC1+bC1)， 6 (T1+C2+eC2) 6 (4+tT1+tC2+bC2)結晶構造(SB記号) B1(C,eC) B1(tC,bC)C4軸方向の単位長さ |4 C 4 eC|＝2+√2 |8 tC 8 bC|＝2+3√2C4軸の向き ↑C＝↑eC ↑tC＝↑bC(注) 頂点構成のP3は3角柱、Tは正4面体で、[頂点,稜,面] の値が一致する多面体として挙げた。二面角は、∠1≒70.5288°，∠2＝90°，∠3≒109.4711°，∠5≒125.2644°，∠6＝135°，∠7≒144.7356°．二面角は、∠4＝120°．Oh対称性をもつ多面体の対称面で1が付いているのは独立な(平行移動で重ならない)C4軸を2本含む面、2が付いているのは1本しか含まない面。なお、Oh対称性をもたない(Td対称性をもつ)TとtTには1種類の対称面しかないため、それをT1，tT1としている。B1は塩化ナトリウム構造(NaCl構造)。C4軸の向きは、Oh対称性をもつ複数の胞についてそれらのC4軸が重なることを示す。なお、T と tT は対称性が異なるため、C4軸をもたない。対称軸の「3×C2」の3本は、「3×C4」の3本とそれぞれ平行です。ここから、<T,C,eC> と <tT,tC,bC> に加えて、以前取り上げた <tT,aC,tO> も同じ結晶構造B1をもつため、それら3者を比較することとします。まずは、多項式表示です。<T,C,eC> ＝ 8 ・P3 + 12 |3: T,eC,eC + 12 |3:C,eC,eC + + 8 {3}T-eC + 6 {4}C-eC + 6 {4}’eC-eC + 2 T + C + eC ．<tT,aC,tO> ＝ 12 ・Y4+ 24 |3:tT,aC,tO+ 6 |4:(tT tO)^2 + 8 {3}tT-aC+ 6 {4}aC-tO+ 8 {6}tT-tO+ 2 tT + aC + tO ．<tT,tC,bC> ＝ 24 ・T + 24 |3:tT,tC,bC + 12 |3:tT,bC,bC + 12 |3:tC,bC,bC + + 8 {3}tT-tC + 6 {4}bC-bC + 8 {6}tT-bC + 6 {8}tC-bC + 2 tT + tC + bC ．頂点の添字は頂点図形を表しますが、構成要素数が合っているだけです。P3，Y4，T は、それぞれ構成要素数ベクトル [ 6 9 5 ]，[ 5 8 5]，[ 4 6 4 ] の略称と考えてください。(Pは角柱 Prism，Yは角錐 pYramid から。)また、面の添字に面を囲む稜の情報は含まれていません。（追加はできます。）次に、3種類のブロック積みの異なる点と共通点を挙げます。 <T,C,eC> <tT,aC,tO> <tT,tC,bC>結晶構造 B1 B1 B1 構造1 eC tO bC 構造2 C aC tC 隙間 T tT tT複雑度 28 34 52C4軸方向の単位長さ 2+√2≒3.414 3√2≒4.243 2+3√2≒6.243頂点の種類 1 1 1 比率 8 12 24稜の種類 2 2 3 比率 12+12 24+6 24+12+12面の種類 3 3 4 比率 8+6+6 8+6+8 8+6+8+6胞の種類 3 3 3 比率 2+1+1 2+1+1 2+1+1(注) 結晶構造の「構造１」「構造２」「隙間」は、B1構造を構成する大きい多面体、小さい多面体、隙間を埋める多面体の意。ブロック積みの複雑度は「構成要素比率の合計／2」。長さは、「稜の長さ＝1」としている。<T,C,eC>，<tT,aC,tO>，<tT,tC,bC> は、この順で (1) より複雑に、(2) 構成する胞がより大きく、(3)「C4軸方向の単位長さ」がより長くなります。 eC ＜ tO ＜ bC， C ＜ aC ＜ tC， T ＜ tT ＝ tT ．なお、<T,C,eC> と <tT,tC,bC> では、胞の大きさが「隙間」＜「構造2」＜「構造1」となっていますが、<tT,aC,tO> では「構造2」＜「隙間」＜「構造1」と逆転しています。以下の3点は、3種類のブロック積みに共通です。対称心： 6：1：1対称軸： 3×C4，4×C3，6×C2，6×C2，3×C2 対称面： 3 ( )，6( )B1構造をもつブロック積みの共通点については、別記事でB2構造をもつブロック積みとの比較対照を行うなかで「なぜそうなるのか」解説したいと思います。★ 今晩の夜更けから雨が降り出して、明日の午前中は久しぶりにまとまった雨となりそうです。洗濯を今日済ませたのはよいのですが、明日は都心に用事があり外出の予定。冷たい雨のなかの外出は気がすすみません。 私の愛読しているなろう小説「白翼のハルピュイア」（依空まつり作）が本日付で236話となり、いよいよ最終盤に入りました。魔術師たちの拠点であり主人公たち見習いの学びの場である楔の塔がついに魔物に攻め込まれ、戦いのなかで大きな秘密が明かされ、また脇役のように思われていた人物たちの正体が次々と明らかとなる一方で、戦いの犠牲となる人物も出てきています。主人公のティア（15歳、歌が大好きな白髪の少女で飛行魔術を学びたい、その正体は下級の魔物ハルピュイアの女王）が人間と魔物のどちらの側につくのか、彼女が救われるハッピーエンドとなるのかどうか目が離せません。白翼のハルピュイア★★ 今日のロジバン 不思議の国のアリス346 (to ji’a ki’u lo nu ju’o cu’i do ji’a djica lo nu troci ca lo dunra donri kei mi do jungau lo du’u la cipnrdodo cu zukte ma kau toi) （冬の日には君たちもやってみたいかもしれないから、・・・ji’a ： ～も/だって。追加。心態詞(談話系)UI3b類ki’u ： ～という正当な理由で。法制詞BAI類 <- krinu 理由ju’ocu’i ： 不確信。定かなところは分からない/確信できない。心態詞(修飾系)UI*5類 <- ju’o 確信, ju’onai 不可能と確信djica ： 欲する/求める，x1は x2(事)を x3(目的)のために；欲求を満たしたい，x1は x3(目的)のために x2(事)という。-dji- [生命･態度]troci ： 達成/獲得しようと努める/努力する，x1は x2(事/状態/性質)を x3(手段/方法)で；x1はx2をやってみる。-toc-, -toi- [過程･制御過程]dunra ： 冬/冬季だ，x1は x2(年)・x3(所)のdonri ： 昼間/日中だ，x1は x2(日)・x3(所)の；x1は昼行性だ。-dor-, -do’i-kei ： 抽象終了。NU類で開かれた抽象化範囲を閉じる。終止詞KEI類。-kez- cu があれば、必要ない。全体は { to ・・・ toi } で挟まれた話し手による挿入文ですが、長いので、今回は { dunra donri kei } までで切ります。この部分は、{ ki’u lo nu ・・・ kei } という形の法制節です。（kei は最初の nu と呼応していると解釈しました。）法制節内の主述語は djica で、そのx1は do 、x2は { lo nu troci } で、その前の心態詞{ ju’o cu’i } と合わせて「君たちもやってみたいかもしれない」という意味になります。さらに、後ろから { ca lo dunra donri } 「冬の日に」が掛かっています。ji’a は2回出てくるけど、最初のものは必要かな？出典は、lo selfri be la .alis. bei bu'u la selmacygu'e (lojban.org)
