線形代数 番外（単因子標準形とジョルダン標準形の関係）

単因子標準形とは、行列Aについて、tE－Aを以下の規則に従って、(i,i)が(i+1,i+1)を割るように対角行列にしたものです。
　　　　規則１　　ある行と他の行を入れ替える
　　　　規則１’　ある列と他の列を入れ替える
　　　　規則２　　列または行をｃ倍する　　（ｃ∈R)
　　　　規則３　　行に「ｔの多項式」を掛けたものを、他の行に加える
　　　　規則３’　列に「ｔの多項式」を掛けたものを、他の列に加える

１．単因子標準形の性質
　　　・対角要素のｔの次数の和は、行列の次数である
　　　・対角要素の積は、固有多項式（tE－Aの行列式）に等しい
　　　・対角要素の最後の要素は、最小多項式に等しい
　　　
２．単因子標準形とジョルダン標準形の関係
　　　　単因子標準形はジョルダン標準形と一対一に対応する！！
　　３行３列の場合
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　　
　　　　　　　　　　　　　　
例１．ある行列のtE – Aが以下となった場合の単因子標準形
　　　　
　　　　　　　第２列×(-1）　→ 第１列に足す
　　　　　　　t-1　　　０　　　０
　　　　　　　-t+2　t-2　　　０
　　　　　　　０　　　　０　　t-3
　　　　　　　第２行　→　 第１列に足す
　　　　　　　１　　　t-2　　　　０
　　　　　　　-t+2　t-2　　　　０
　　　　　　　０　　　　０　　t-3
　　　　　　　第１行×(t-2)　→　 第２行に足す
　　　　　　　１　　　t-2　　　　０
　　　　　　　０　　t-2＋(t-2)²　　　０
　　　　　　　０　　　　０　　t-3
　　　　　　　第１列× -(t-2)　→　 第２列に足す
　　　　　　　１　　　０　　　　　　　０
　　　　　　　０　　t-2＋(t-2)²　　　０
　　　　　　　０　　　０　　　　　　t-3

　　　　　　　１　　　０　　　　　　　０
　　　　　　　０　　（t-2)(t-2+1)　　　０
　　　　　　　０　　　０　　　　　　t-3

　　　　　　　１　　　０　　　　　　　０
　　　　　　　０　　（t-1)(t-2)　　　０
　　　　　　　０　　　０　　　　　　t-3
　　　　　　　第２、３の行と列をそれぞれ入れ替えて
　　　　　　　１　　　０　　　０
　　　　　　　０　　　t-3　　　０
　　　　　　　０　　　０　　（t-1)(t-2)
　　　　　　　これで終わりと思っては　いけません。(3,3)を(2,2)で割れませんから。
　　　　　　　第２行に－ｔを掛けて、第３行に加える
　　　　　　　１　　　０　　　　０
　　　　　　　０　　　t-3　　　０
　　　　　　　０　　　-t²+3t　　（t-1)(t-2)
　　　　　　　第３列を第2列に加える
　　　　　　　１　　　０　　　　０
　　　　　　　０　　　t-3　　　０
　　　　　　　０　　　2　　（t²-3t+2)
　　　　　　　第3行に－(ｔ-3)/2を掛けて、第2行に加える
　　　　　　　１　　　０　　　　０
　　　　　　　０　　　０　　-（t²-3t+2)(ｔ-3)/2
　　　　　　　０　　　2　　（t²-3t+2)
　　　　　　　第2列に－(t²-3t+2)/2を掛けて、第3列に加える
　　　　　　　１　　　０　　　　０
　　　　　　　０　　　０　　-（t²-3t+2)(ｔ-3)/2
　　　　　　　０　　　２　　　　０
　　　　　　　第２、３の行を入れ替えて定数を掛けて、単因子標準形となる。

　　　　　　　１　　　０　　　　０
　　　　　　　０　　　１　　　　０
　　　　　　　０　　　０　　（t-1)(t-2)(ｔ-3)

　　　　したがって、このジョルダン標準形は、
　　　　そのものずばり である。

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