(数オリ)2019年日本数学オリンピック 予選1

(問題)

正の整数の組(x,y,z)であって

x+xy+xyz=31

x<y<z

であるものを全て求めよ

(自分の解法)

x+xy+xyz

=x(1+y+yz)

=31

になる。

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x,y,zが整数であるので、1+y+yzも整数となる。

また、31は素数であることから、xと1+y+yzの組み合わせは、(1,31)または(31,1)しか存在しない。

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xが31の場合、y≧32、z≧33になることから、x+xy+xyz≠31

したがって、x=1、1+y+yz=31、とそれぞれ決まる。

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1+y+yz=31

y+yz=30

y(1+z)=30

となるので、yと1+zの組み合わせは(1,30)(2,15)(3,10)(5,6)(6,5)(10,3)(15,2)(30,1)の8通りが考えられる。

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y<z<1+zであることから、(1,30)(2,15)(3,10)(5,6)に組み合わせ候補は絞られる

また(5,6)の場合にはy=z=5となることから、組み合わせ候補から省かれる。

また(1,30)の場合にはx=y=1となることから、組み合わせ候補から省かれる。

このことから、yと1+zの組み合わせは(2,15)(3,10)の2通りのみとなる。

したがって、yとzの組み合わせは(2,14)と(3,9)となる。

答え→(x,y,z)=(1,2,14)(1,3,9)

(感想)

変に公式や法則を駆使するのではなく、前提を一つ一つクリアしていけば解けるといった良問かと。

長男と一緒に解きましたが、長男も解けてたし（時間制限ある中だと厳しいかもしれんね）

31が素数だと気付けば、道筋ははっきりと見えるとは思います♪

(中1)正の数・負の数①

息子が計算問題をやってるのですが、負の数が出た瞬間に四則演算が一気に怪しくなりますw

まず、負の数とは何なのか、といった疑問があるみたいですね。

倅「マイナスって何さ」

私「0より小さいんだよ」

倅「実際に見たことないよね」

私「天気予報で冬にマイナス5度とか言ってるでしょ」

倅「5は1が5つじゃん。じゃあマイナス5はマイナス1が5つなの？」

うん。負の数とはなんなのかが、イメージできてないということがよく分かった。

なので、正の数と負の数とは何なのかといったところから始める。

0を家としたときに、家から駅の方向に向かうのがプラス、家から駅と逆の方向に向かうのがマイナスといったイメージで、と。

家から10分歩いたところにある駅も、家から10分逆方向に歩いたところにあるコンビニも所要時間は同じ10分でしょ。これが絶対値ですよ、と。

ここまでは分かった、と。

一歩前進。

じゃあ次は四則演算だと。

はい。混乱w

やはりマイナスが出てきた時の計算方法で悩むらしい。

小学校でも掛け算と割り算は兄弟で同じ理屈と教わっているので、この点については合点がいくらしい。

問題はマイナスが出てきた時の足し算と引き算だと。

意外w

というわけで、二つの数だけの足し算と引き算に特化して改めて考えてみた上で、みんな大好きなゲーム的な発想で教える。

私「(+5)+(-8)って問題があるとするじゃん」

倅「はいな」

私「プラスとマイナスの陣地に何人いるかって考えてみましょ」

倅「プラスの陣地に5人、マイナスの陣地に8人」

私「そう。この人たち敵同士だから戦ってくでしょ。戦ったもん同士退場していくって考えると最後に何人残るさ」

倅「マイナスが3人残る」

私「そうそう。残ってる陣地の方の符号つけてあげて、残った人数をつけてあげると・・・」

倅「マイナス3」

私「うむ」

私「(+5)+(+8)って問題があるとするじゃん」

倅「はいな」

私「相手の陣地に敵がいないからこれでゲームオーバーよね」

倅「はい」

私「じゃあどちらの陣地に何人残ってるさ」

倅「プラスの陣地に13人」

私「さっきと同じように考えると答えはどうなるさ」

倅「プラス13」

私「うむ」

更に一歩前進。

息子に聞くと、掛け算と割り算は分かると。

ただし、(-2)^2と、-2^2とどう違うんだ？、ってとこで混乱するらしい。

というわけで次回は累乗の考え方を纏めようと思う。

ブログ開設のきっかけとか

今年の4月に、長男が中学校に進級しました。

小学校の間は、さして勉強に口出しすることもなく、分からないことは教える程度で、塾や学校に任せていたのですが。

連休に長男と会話していると、ちょっとやばいぞ、とw

なので、ある程度、週1くらいの単元で覚えて欲しいことだけを簡単にまとめて教えることにしました。

で、せっかく文書としてまとめるのであれば、ついでにどこかにアップしておこうかと考えたわけで。

まあ肩肘張らずに。

定期的な更新にするとしんどいと思うので、週1を目安にしながらも不定期更新になります。