令和４年３月１日『平面波の振動数と波長』：kochi-at
Written by, ハマダ・コロンブス理 （5０代）「理学士」
[例１]：a, ω, αを定数（aとωは正），ｋは定ベクトル，ｋ・ｒ＝ｋｘ＋ｋｙ＋ｋｚはｋとｒのスカラー積として
Φ（ｒ，ｔ）＝acos（ｋ・ｒ－ωｔ－α） ――― ①
はｋに垂直な波面を持つ平面波であることを示し、振動数と波長を求めよ。
[解]：ｒを固定すると①式は振幅a,振動数ν＝ω/２πの単振動を表す。２点ｒとｒ＋⊿ｒにおける位相θ＝ｋ・ｒ－ωｔ－αの差は⊿θ＝ｋ・⊿ｒ＝ｋ⊿ｒcosγに等しい。
γはｋと⊿ｒの間の角度である。
⊿ｒをｋに垂直に選ぶとγ＝π/２，⊿θ＝０だから
｛ベクトルの内積より、Ａ・Ｂ＝｜Ａ｜｜Ｂ｜cosθ｝
⊿θ＝ｋ⊿ｒcosπ/２＝ｋ⊿ｒ・０＝０
よって、波面はｋに垂直な平面である。
⊿ｒをｋに平行に選ぶと（γ＝０）
∴ ⊿θ＝ｋ⊿ｒcos０°＝ｋ⊿ｒ・１＝ｋ⊿ｒであり、ｋの方向に距離λ＝２π/ｋ進むごとにθは２πだけ増しθは同じ値を繰り返す。λが波長である。
｛波数ｋ→波長の逆数σ[λ－１]｝
｛単位円周上に何波長分の波が入るかを表す。｝
ｋは平面波の波長と進行方向を与えるベクトルで波動ベクトルと呼ばれる。
（法線ベクトル）
ｔがｄｔだけ増すとき、波面がｋ方向にｄｒだけ動くとすると、
（θ＋⊿θ）－θ＝｛ｋ・（ｒ＋⊿ｒ）－ω（ｔ＋ｄｔ）－α｝
－（ｋ・ｒ－ωｔ－α）
＝ｋｄｒ－ωｄｔ
｛ 円周 ２πｒ＝ωｔ ｝
ｋｄｒ－ωｄｔ＝０であるから、ｋｄｒ＝ωｄｔ ∴ ｄｒ/ｄｔ＝ω/ｋ
波面の動く速さは
ｄｒ/ｄｔ＝ω/ｋ で与えられる。｛右辺は単に記号数値と考える｝
これを位相速度と呼ぶ。
真空中では、ｄｒ/ｄｔ＝Ｃだから ∴ ω＝Ｃｋ
が成立することになる。
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〔引用文献〕：中嶋貞夫：量子力学Ⅰ：岩波書店：１９８６年
