effectiveなルートたちとKaehler cone | K3 surfaces with involutions

K3 surfaces with involutions

Local and global Torelli theorems for complex K3 surfaces, periods of K3 surfaces, non-symplectic holomorphic involutions, anti-holomorphic involutions, Hilbert schemes of K3 surfaces, Nikulin's lattice theory, lattice-polarized K3 surfaces. . .

参考書:

[BHPV] (Barth Hulek Peters Van de Ven)



K3曲面Xに対しては,c_1 が単射であることから,

Pic(X) = H^1(X,0^*_X) (complex line bundles のisomorphism classes)

は,Neron-Severi group NS(X) := H^{1,1}(X) ∩ i^*(H^2(X,Z))

と同一視できる.(Prop.3.6)


NS(X)のclassで,effective (resp. irredudible) divisorで代表されるclassを

effective (resp. irredudible) classという.


特に,(-2)curves (see p.92)のclassをnodal class と呼ぶ.

effective classで,別の2つのeffective classesの和として表せないものは,indecomposableであるという.


Prop.3.7

K3曲面Xに対しては,

(1) NS(X)の元d≠0 (d,d)≧-2 に対し,dか-dはeffectiveである.

(2) もし,dがirreducibleならば,(d,d)≧-2 であり,等号はdがnodal classのとき,また,そのときに限り成り立つ.

(3) indecomposable class は irreducible classである.

(4) nodal class は,ただ1つの(-2) curveで代表され,特に,indecomposableである.


Prop 3.8

K3曲面のeffective classes の集合は,

the nodal classes と

the positive coneの閉包の整数点で生成される半群である.



Δ = { d ∈ NS(X) | (d,d)=-2,d はeffective } とおく.

つまり,effectiveな"ルート"たちである.

これらは,nodal class とは限らない.decomposableかも知れない.


d ∈ Δに対し,H_d を,dの直交補空間(hyperplane)とする.

the positive cone C_XからすべてのH_d を取り除いたものの連結成分を,

C_X のchambersと呼ぶ.すると,


すべてのKaehler classesは,次のchamberに含まれる


C^+_X = { y ∈ C_X | (y,d) > 0 for all d ∈ Δ }


Corollary 3.9

K3曲面に対しては,C^+_Xは,the Kaehler cone に一致する.

(つまり,Δの元 d に対してだけ,(y,d) > 0 となればよい


(ここで,the Kaehler coneとは,C_X のconvex subcone で,

{ y ∈ C_X | (y,d) > 0 for all effective class d in NS(X) }

であった.)



Proposition 3.10

K3曲面Xの"the Picard Lefschetz reflections"は,

the positive cone を不変にし,

the Picard Lefschetz reflectionsで生成される群W_X は,

the positive cone に固有不連続に作用する.

the Kaehler cone のthe positive cone における閉包は,

W_Xの基本領域となっている.