参考書:
[BHPV] (Barth Hulek Peters Van de Ven)
K3曲面Xに対しては,c_1 が単射であることから,
Pic(X) = H^1(X,0^*_X) (complex line bundles のisomorphism classes)
は,Neron-Severi group NS(X) := H^{1,1}(X) ∩ i^*(H^2(X,Z))
と同一視できる.(Prop.3.6)
NS(X)のclassで,effective (resp. irredudible) divisorで代表されるclassを
effective (resp. irredudible) classという.
特に,(-2)curves (see p.92)のclassをnodal class と呼ぶ.
effective classで,別の2つのeffective classesの和として表せないものは,indecomposableであるという.
Prop.3.7
K3曲面Xに対しては,
(1) NS(X)の元d≠0 (d,d)≧-2 に対し,dか-dはeffectiveである.
(2) もし,dがirreducibleならば,(d,d)≧-2 であり,等号はdがnodal classのとき,また,そのときに限り成り立つ.
(3) indecomposable class は irreducible classである.
(4) nodal class は,ただ1つの(-2) curveで代表され,特に,indecomposableである.
Prop 3.8
K3曲面のeffective classes の集合は,
the nodal classes と
the positive coneの閉包の整数点で生成される半群である.
Δ = { d ∈ NS(X) | (d,d)=-2,d はeffective } とおく.
つまり,effectiveな"ルート"たちである.
これらは,nodal class とは限らない.decomposableかも知れない.
d ∈ Δに対し,H_d を,dの直交補空間(hyperplane)とする.
the positive cone C_XからすべてのH_d を取り除いたものの連結成分を,
C_X のchambersと呼ぶ.すると,
すべてのKaehler classesは,次のchamberに含まれる:
C^+_X = { y ∈ C_X | (y,d) > 0 for all d ∈ Δ }
Corollary 3.9
K3曲面に対しては,C^+_Xは,the Kaehler cone に一致する.
(つまり,Δの元 d に対してだけ,(y,d) > 0 となればよい)
(ここで,the Kaehler coneとは,C_X のconvex subcone で,
{ y ∈ C_X | (y,d) > 0 for all effective class d in NS(X) }
であった.)
Proposition 3.10
K3曲面Xの"the Picard Lefschetz reflections"は,
the positive cone を不変にし,
the Picard Lefschetz reflectionsで生成される群W_X は,
the positive cone に固有不連続に作用する.
the Kaehler cone のthe positive cone における閉包は,
W_Xの基本領域となっている.