二つの自然数a、bが、a^2+b(b+1)=504を満たす時、a、bの組み合わせとして考えられるものを全て求めよ。
解答作成日：2017年1月2日
テーマ：二次不定方程式の自然数解
履修学年：なし
自作数学問題bot @mathquestionakt様から新しい問題が2問アップロードされました！！
まずは、一般性が高い問題からご紹介致します。
およそ3ヶ月ぶりにして、2017年最初の問題ですので、正月休みでリフレッシュさせた頭脳を活性化してみましょう！
作者様（@mathquestionakt様）の意図は、次の通りでした。
与式をb^2+b+(a^2-504)=0と変形して「解の公式」を利用することで、
bの解をaの式で表せるようになる。
それを実際にやってみると、b={-1±√(2017-a^2)}/2
このうち、「bが自然数となる」ための必要条件、
「√(2017-a^2)が自然数になる」を満たす自然数aは、a=22のみ。
このとき、b=4となり、「bが自然数」という条件を満たすというものでした！
しかし、本題では、これとちょっと異なるアプローチをご紹介致します。
左辺のb(b+1)が「連続する2つの自然数の積」であることから、
確実に偶数になることに着眼して、a^2も偶数になる。
a^2が偶数になるから、aも偶数。aが偶数だから、a^2は4の倍数。
4の倍数であるa^2との和が4の倍数になるから、b(b+1)も4の倍数。
連続する2つの自然数の積、b(b+1)が4の倍数だから、bかb+1の一方が4の倍数。
これで場合を絞り出したということです。