第四回：ベクトルの平行移動 | バカ２匹がテンソルとか相対論とかに挑む

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第四回：ベクトルの平行移動

片割れがぜんぜん書いてくれないので第四回も自分が更新します

詳しい説明は省くが、あるベクトルAを平行移動するということは

$dx^\alpha\frac{\partial \vec{A}}{\partial x^\alpha}=0$ 　に対応している。

これを利用して、時空が曲がっているということをもう少し詳しく見ていこう。

$\vec{A}=A^\mu\vec{e_\mu}$ とすると、先の式は

$dx^\alpha\left[\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\alpha}\vec{e_\mu}+A^\gamma\frac{\partial \vec{e_\gamma}}{\partial x^\alpha}\vec{e^\mu}\vec{e_\mu}\right]=0$

変位ベクトルと単位ベクトルは０ではないので

$\frac{\partial A^\mu}{\partial x^\alpha}+A^\gamma\Gamma_\alpha_\gamma^\mu=0$ であり、これを共変微分という。表記は $A_; _\alpha^\mu$

つまりベクトルを平行移動するとは共変微分を０に保って変化させることに等しい。

次に微小四角形ABCDに沿ってベクトルを平行移動させたときどのように変化するかを見てみる。