以前の記事の続きです。
今年出された図形の一行問題の第13回です。
その1（智辯学園和歌山2024）
下の図の三角形ABCにおいて、BE=AC、BD=CEであるとき、角アの大きさは何度ですか。
- 「BE＝AC」…㋐
- 「BD=CE」よりBD+DE＝CE+DEだからBE＝DC…㋑
- ㋐㋑よりAC＝DC。つまり△CADは二等辺三角形で、その頂角Cが70°だから角CAD＝(180－70)÷2＝55°
- したがって角CAE＝40°（＝55－15）。すると角AECも70°（＝180－(40+70)）だから△AECも二等辺三角形でAE＝AC…㋒
よって㋐㋒よりAE＝BEだから△EABも二等辺三角形で、その外角AEC＝70°より
ア＝70÷2＝35°
その2（吉祥女子2024）
下の図の4本の直線AE、BF、CG、AB、DHはすべて平行です。AB：BC：CD=3：2：4、BF：CG =5：6のとき、AE：DHをもっとも簡単な整数の比で答えなさい。
補助線APがEHと平行になるような点Pを考える。AE＝PH＝①とする
- 「AB：BC：CD=3：2：4」よりAB：AC：AD＝3：5：9。するとDP＝9とすると補助線から左部分の長さは次のように上から3、5、9となる。また補助線から右部分の長さはすべて①
- このとき「BF：CG＝5：6」より (3+①)：(5+①)＝5：6だから25+⑤＝18+⑥より①＝7
よってAE：DH＝①：(9+①)＝7：16
その3（湘南白百合2024算数）
次の図のように、AD=DE=EB、AF= FCの三角形ABCがあります。
(色のついた部分の面積の合計)：(色のついてない部分の面積の合計) = [ ア ] : [ イ ] です。
ただし、空欄のアとイは最も簡単な整数の比で表すこと。
- 四角形PABCが平行四辺形となるような点Pを考える。すると次のように1つの辺を共有する相似な三角形2組（「ダブルちょうちょ」などとよばれる）ができる
- このとき辺の長さの比がPC：DB：EB＝3：2：1だから赤の相似形に注目してPH：HB＝3：2。また青の相似形に注目してPG：GB＝3：1。そしてFは平行四辺形の対角線の交わる点だからPF：FB＝1：1。これらを比合わせすると
（PB＝20とするとFH＝2、HG＝3、GB＝5だから）FH：HG：GB＝2：3：5
- すると辺の比と面積比の関係より、△CFHの面積を②とすると△CHGは③、△CGBは⑤。このとき△CFBの面積は②+③+⑤＝⑩だから△ABCの面積はその2倍で⑳。そして△CDEの面積はこの⅓倍で
だから、四角形HDEGの面積は－③＝
よって
- 色のついた部分の面積は△CFH+四角形HDEG+△CGB＝②++⑤＝
- 色のついていない部分の面積は⑳－＝
だからその比は32：28＝8：7とわかり
ア＝8、イ＝7 
