以前の記事の続きです。
今年出された場合の数の一行問題の第13回です。
先に3勝する場合の数（中央大学附属2024）
A、Bの2チームで試合を行い、先に3回勝った方を優勝とします。優勝が決まればそのあとの試合は行わず、引き分けもないとき、優勝の決まり方は何通りありますか。
Aが優勝する場合を考える（Bが優勝する場合の数も同じだけあるから最後に2倍する）。Aが3勝何敗で勝つかで場合分けしてしらべると
- Aが3勝0敗で勝つ場合…1通り
- Aが3勝1敗で勝つ場合…はじめの3試合で2勝1敗ということ。これはAABの並べかえだから3通り
- Aが3勝2敗で勝つ場合…はじめの4試合で2勝2敗ということ。これはAABBの並べかえだから4×3÷2＝6通り
したがってAが勝つ勝ち方は1+3+6＝10通り
よってBが勝つ勝ち方も同じだけあるから、優勝の決まり方はぜんぶで10×2＝20通り
円順列（愛知淑徳2024）
図のような正五角形のすべての頂点に黒か白のコインを1枚ずつ置きます。コインの置き方は全部で何通りあるか答えなさい。ただし、回転して同じ置き方になるものは同じものとします。
図のように、5つの頂点に①～⑤の番号をつける。そしていったん①の場所を黒に固定する（最後に①が白の場合＝5つとも白の場合の1通りを足す）
すると
- このまま黒1個の形が1通り
- 黒2個の形が②③のどちらに黒を置くかで2通り（④は③と、⑤は②と「回転して同じ置き方になる」ので数えない）
- 黒3個の形が（白2個の形なので⒉の裏返しで）2通り
- 黒4個の形が（白1個の形なので⒈の裏返しで）1通り
- 黒5個の形が1通り
よって黒0個の場合の1通りを最後に足して
1+2+2+1+1+1＝8通り
整数の作り方（慶應義塾普通部2024）
4けたの整数があります。千の位の数は百の位の数と異なり、百の位の数は十の位の数以下で、十の位の数と一の位の数の和は10です。このような4けたの整数は何個ありますか。
百の位に注目して❶百の位が9のときから❿百の位が0のときまで場合分けしてしらべる（といっても❶～❾は同じパターンで、❿だけが特別であることは少し手を動かせばすぐにわかる）
すると
❶百の位が9のとき…
- 千の位…「千の位の数は百の位の数と異な」るから8～1の8通り
- 十の位…「百の位の数は十の位の数以下」なので9に決まるから1通り
- 一の位…「十の位の数と一の位の数の和は10」だから十の位が決まれば自動的に決まる（必ずそうなるのでこのあと一の位は無視する）
したがって 8×1＝8通り
❷百の位が8のとき…
- 千の位…百の位と異なる9～1の数で8通り
- 十の位…百の位以上なので9か8の2通り
したがって 8×2＝16通り
❸百の位が7のとき…
- 千の位…百の位と異なる9～1の数で8通り
- 十の位…百の位以上なので9、8、7の3通り
したがって 8×3＝24通り
❾百の位が1のとき…
- 千の位…百の位と異なる9～1の数で8通り
- 十の位…百の位以上なので9～1の9通り
したがって 8×9＝72通り
❿百の位が0のとき…
- 千の位…百の位と異なる9～1の数で9通り
- 十の位…百の位以上なので9～1の9通り（「十の位の数と一の位の数の和は10」だから十の位に0はこない）
したがって 9×9＝81通り
よって❶～❾の合計が8×(1+2+…+9)＝8×45＝360通り、❿が81通りあるからあわせて441通り 
