以前の記事の続きです。
回転体の体積を求める問題ではなかなか一筋縄ではいかないようなものも出題されるようになってきています。
今年の出題例だとたとえば次のようなものがあります。
回転軸のある平面上にない線分や図形の回転体（淑徳巣鴨2023）
右の図は、1辺の長さが6cmの立方体で、面ABCD、EFGH、ABFE、ADHEの対角線の交点をそれぞれP、Q、R、Sとします。次の問いに答えなさい。
①線分RSを直線PQを軸として一回転させてできる図形の面積は何㎠ですか。
できた図形を上から見ると下図のグレー部分の形（ドーナツ型）になる。
ここで内側の白の円の半径を□㎝とすると、□そのものは出せないが、□×□であれば（1辺が□㎝の正方形の面積はその対角線3㎝を使って求めることができるから）次のようにして出すことができる。
□×□＝3×3÷2＝4.5
よって
- (半径3㎝の円の面積)…3×3×3.14＝9×3.14
- (半径□㎝の円の面積)…4.5×3.14
より、求める面積は
(9－4.5)×3.14＝4.5×3.14＝14.13㎠
②三角形PRSを直線PQを軸として一回転させてできる立体の体積は何㎤ですか。
できた立体は円すいから円すいをくり抜いた形であり、これを正面から見た断面図は次の通り。
この立体の底面積は小問⑴で求めた14.13㎠、高さは3㎝だから（円すいの一部だから最後に3で割って）その体積は
14.13×3÷3＝14.13㎤
240度の回転体（京都文教中2023）
縦2cm、横3cmの長方形を組み合わせた図形があります。この図形を直線ABをじくにして240度回転させたときにできる立体の体積を求めなさい。ただし、円周率は3.14とします。
回転させたあとの立体をイメージして、左の⅓と右がわに分けて考える。
左の⅓部分
底面の半径6㎝、高さ3㎝の円柱になるので、その体積は
6×6×3.14×3＝108×3.14
右がわの⅔部分
1回の計算ですむようにコの字型の面が240°回転するものと考える。
回転体の体積は「回転する平面図形の面積×円周（重心が動く長さ）」で求められることがわかっているから（パップス=ギュルダンの定理）
- コの字型の面積…3×2×5＝30㎠
- 円周…半径3㎝×2×3.14×240÷360＝4×3.14㎝
よりその体積は 30×4×3.14＝120×3.14
よって求める体積は
108×3.14+120×3.14＝228×3.14＝
715.92㎤ 
