以前の記事の続きです。
今年の入試問題より時計算の第4弾です。
その1（淑徳巣鴨2023）
3時から3時40分までに長針と短針の作る角度が60度以下になっているのは何分間か求めなさい。
3時のとき長針は短針より90°後ろにあり、3時40分のとき長針は短針より130°（＝5.5×40－90）先にある。
どちらも60°より大きいからふつうに短針より60°後ろにいる長針が短針を追いこして60°先に行くまでの時間を求めればよい。
よって長針(分速6°)が短針(分速0.5°)との距離を120°ちぢめるときの追いつき算を考えると
120°÷5.5＝120ײ⁄₁₁＝21⁹⁄₁₁
より 21⁹⁄₁₁分間
その2（中央大学附属横浜2023）
図のように長針と短針を持つA、B、Cの3つの時計があります。Aの時計は時間通りに動きますが、Bの時計は1時間ごとに7分30秒遅れ、Cの時計は1時間ごとに5分早く進みます。ある日の正午に3つの時計を12時に合わせました。
このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 時計を合わせたあと、Aの長針と短針の間の角がはじめて110度になるのは何分後ですか。
Aはふつうの時計なので、長針(分速6°)と短針(分速0.5°)とのふつうの追いつき算で
110÷(6－0.5)＝20分後
⑵ 時計を合わせたあと、Bの長針とCの長針がはじめて同じ方向を向くのは何分後ですか。
Bの長針とCの長針の分速をそれぞれ求めると
- 「Bの時計は1時間ごとに7分30秒遅れ」るから1時間で52分30秒進む。とするとBの長針の分速は 6°×52.5÷60＝5.25°
- 「Cの時計は1時間ごとに5分早く進」むから1時間で65分進む。とするとCの長針の分速は 6°×65÷60＝6.5°
よって「Bの長針とCの長針がはじめて同じ方向を向く」のはより速いCの長針がBの長針に追いついたとき＝360°の差をつけたときなので
360÷(6.5－5.25)＝288分後
⑶ 時計を合わせたあと、A、B、Cの長針がはじめて3本とも同じ方向を向くのは何分後ですか。
Aの長針(分速6°)とBの長針(分速5.25°)がはじめて同じ方向を向くのは何分後かを考えると
360÷(6－5.25)＝480分後
とすると
- Aの長針とBの長針が同じ方向を向くのは480分後、960分後、1440分後…
- Bの長針とCの長針が同じ方向を向くのは（小問⑵より）288分後、576分後、864分後、1152分後、1440分後…
よって「A、B、Cの長針がはじめて3本とも同じ方向を向く」のは（480と288の最小公倍数1440より）1440分後
その3（白百合2023）
短針と長針がある普通の時計に、一定の速さで反時計回りに回る特別な針Aを取り付けて、3本の針が回転する様子を観察しました。4時に針Aと長針が重なっている状態から観察を始めたところ、長針と短針の作る角が初めて直角になるのと同時に、針Aと長針が作る角が初めて180度になりました。このとき、次の問いに答えなさい。ただし、答えは整数か帯分数で答えなさい。
⑴ 針Aが一周するのに何分かかりますか。
「長針と短針の作る角が初めて直角になる」のは（4時の時点で120°あった角が90°になるということで）30°の追いつき算を考えて
30÷5.5＝⁶⁰⁄₁₁分後
この⁶⁰⁄₁₁分で長針と針Aが180°はなれるということなので針Aと長針の分速の和は
180÷⁶⁰⁄₁₁＝33°
よって針Aの分速は27°（＝33－6）だから一周するのにかかる時間は
360÷27＝⁴⁰⁄₃＝13⅓分
⑵ 図のように12と5の間にある針Aが、初めて短針と長針の作る角度を2等分するのは4時何分ですか。
「第三の針」の考え方を使うのが解きやすい問題。
長針と短針のちょうど真ん中にいつもあるような第三の針（中針）を考えると
- 中針の速さは (6＋0.5)÷2＝分速3.25°
- 中針のはじめの位置は12時の位置から (0°＋120°)÷2＝60°先
この中針と針Aが初めて出会うところが「初めて短針と長針の作る角度を2等分する」ところとなる。
よって中針（分速3.25°）と針A（分速27°）との距離300°（＝360－60）の出会い算を考えると
300÷(3.25+27)＝¹⁵⁰⁰⁄₁₂₁分
より 4時9¹¹¹⁄₁₂₁分 
