以前の記事の続きになります。
今年出題されたニュートン算の入試問題の第6弾です。
動物園の入園（森村学園2023第3回）
ある動物園では開園時刻前に80人の列ができており、Aさんは前から80番目に並んでいました。開園と同時に1つのゲートが開き、開園から数分後、Aさんが入場する前にゲートが2つに増えました。ゲート増加後は2つのゲートから入場できるようになり、Aさんは開園から7分後に入場することができました。列がなくなるまで、 1つのゲートにつき15秒ごとに2人ずつゲートを通ります。このとき、次の問に答えなさい。
⑴ ゲートが2つに増えなかったとすると、Aさんが入場できるのは開園から何分後でしたか。
「1つのゲートにつき15秒ごとに2人ずつ」ゲートを通るからゲート1つで毎分8人が入場できる。
よって「前から80番目」にいるAさんの入場は 80÷8＝10分後
⑵ ゲートが増えたのは開園から何分後ですか。
ゲートが増える前は毎分8人ずつ入場していたのが「ゲートが2つに」増えた後は毎分16人になる。
「Aさんは開園から7分後に入場」できたから7分で80人が入場したときのつるかめ算の図を書くと
8人×4分＋16人×3分＝80人
という状況だったとわかるから 4分後
⑶ 開園してからも、1分間あたり12人ずつ列に加わりました。この列がなくなるのは開園してから何分後ですか。ただし、列がなくなるまでゲートは2つに増えたままとします。
まず開園4分後までを考えると
- 毎分8人が入場したから行列からへったのは32人
- 開園後も「1分間あたり12人ずつ列に」加わったから4分間で行列に加わったのは48人
- とすると最初に80人が並んでいたから4分後の行列は96人（＝80－32＋48）だった
そして開園4分後以降を考えると、ゲート2つで入場できる人数は毎分16人、並ぶ人数が毎分12人だから、へっていくのは毎分4人
よって 96÷4＝24 より、行列がなくなるのは開園4分後から数えて24分後だから 28分後
テーマパークの入園（早稲田中2023第2回）
あるテーマパークでは、入場のときに機械窓口か係員窓口で、チケットを確認します。チケットを確認するのに1人あたりかかる時間はそれぞれ一定で、機械窓口でかかる時間は係員窓口でかかる時間の0.7倍です。このテーマパークでは午前9時ちょうどから入場を開始しますが、毎日午前9時より前の同じ時刻から毎分15人の割合でつぎつぎと人が並び始めます。
午前9時から機械窓口2つでチケットの確認を始めると、午前10時28分に入場を待つ人がいなくなります。
また、午前9時から機械窓口1つでチケットの確認を始めて、午前9時16分からさらに係員窓口を2つ開くと、午前10時12分に入場を待つ人がいなくなります。
次の問いに答えなさい。
⑴ 機械窓口1つでチケットを確認するのにかかる時間は1人あたり何秒ですか。
「機械窓口でかかる時間は係員窓口でかかる時間の0.7倍」だから係員窓口で入れる人数を毎分
人とすると機械窓口で入れる人数は毎分
人（かかる時間の比が機械窓口：係員窓口＝10：7のとき入場できる人数の比はかかる時間の逆比の7：10なので）
❶「午前9時から機械窓口2つでチケットの確認を始めると、午前10時28分に入場を待つ人がいなく」なる。このとき「毎分15人の割合で」並ぶ人がふえるから行列がへっていく速さは毎分(
－15)人。これが午前9時から10時28分までの88分間でなくなるから、午前9時に並んでいた人数は 
－1320（＝(－15)×88）と表せる
❷「午前9時から機械窓口1つでチケットの確認を始めて、午前9時16分からさらに係員窓口を2つ開くと、午前10時12分に入場を待つ人がいなく」なる。このとき①午前9時から9時16分まで（16分間）の行列がへっていく速さは毎分(－15)人、②午前9時16分から10時12分まで（56分間）の行列がへっていく速さは毎分(
－15)人。とすると午前9時に並んでいた人数は 
－1080（＝(－15)×16＋(－15)×56＝
－240＋
－840）と表せる
❸これらは同じ人数だから －1320＝－1080 より 
＝240 だから 
＝⁶⁰⁄₆₄＝¹⁵⁄₁₆
は⁷⁵⁄₈人。1人あたり時間に直すと⁸⁄₇₅分だから 60秒×⁸⁄₇₅＝³²⁄₅秒＝6.4秒
⑵ 人が並び始める時刻は午前何時何分ですか。
午前9時に並んでいたのは
¹⁵⁄₁₆×1760－1320=330人
だった。とすると午前9時より前も「毎分15人の割合で」列はふえていたから
330÷15＝22
より、並びはじめたのは9時の22分前で
午前8時38分
⑶ 午前9時から係員窓口 2つでチケットの確認を始めると、午前8時52分に並び始めた人が窓口に来るのは午前何時何分ですか。
午前8時38分から「毎分15人の割合で」列はふえていたから「午前8時52分に並び始めた人」の前には 毎分15人×14分＝210人がいる。
係員窓口2つだと ¹⁵⁄₁₆×7×2＝毎分¹⁰⁵⁄₈人ずつ入場できるから
210÷¹⁰⁵⁄₈＝16
よりこの人の前の列がなくなるのは16分後なので
午前9時16分 
