以前の記事の続きです。
立体くりぬきの分野からの出題例の第4弾です。
体積①（神戸海星女子2023）
右の図のように、1辺の長さが2cmの立方体から、その向かい合う3組の面の真ん中を通るように、1辺の長さが1cmの正方形を底面とする四角柱をくりぬいた立体があります。この立体の体積は▢㎤です。
くりぬいた立体の形を考えると
❶まず真ん中は立方体でその面は「1辺の長さが1cmの正方形」なので体積は1×1×1＝1㎤
❷そして❶の立方体のまわりには同じ直方体が6つありその体積の合計は 1×1×0.5×6＝3㎤
よって、はじめにあった「1辺の長さが2cmの立方体」の体積が2×2×2＝8㎤だから、ここから❶と❷を引いて
8－1－3＝4㎤
体積②（山脇2023算数）
図1のように、1辺12cmの立方体から円、三角形、四角形の形を各面に垂直に反対側までくりぬいて、立体をつくります。できた立体をそれぞれの方向から見ると、図2のようになりました。この立体の体積は何㎤ですか。ただし、円周率は3.14とします。
いちばん大きい正方形（直方体）だけくりぬいた立体をまず考えて、あとから円（円柱）と三角（三角柱）をくりぬくと考える
❶正方形だけくりぬいた立体の体積
「真正面から見た図」の面を底面と考えると底面積は
12×12－4×4＝144－16＝128㎠
高さ12㎝だからその体積は 128×12＝1536㎤
❷くりぬいた円柱のうち❶と重ならない部分の体積
「真横から見た図」にある円を底面とする高さ4㎝の円柱2コがあとからくりぬかれる。その体積は
2×2×3.14×高さ4㎝×2コ＝100.48㎤
❸くりぬいた三角柱のうち❶と重ならない部分の体積
「真上から見た図」にある三角を底面とする高さ4㎝の三角柱2コがあとからくりぬかれる。その体積は
4×4÷2×高さ4㎝×2コ＝64㎤
よって❶－❷－❸より
1536－100.48－64＝1371.52㎤
表面積（神戸女学院2023）
たて8cm、横7cm、高さ9cmの直方体から、図のように斜線をつけた円と直角三角形と長方形を、それぞれ直方体の反対の面までまっすぐくりぬきます。円の直径は3cmです。また、円周率は3.14とします。
⑴ くりぬいた後の立体の体積を求めなさい。
いちばん大きい正方形（直方体）だけくりぬいた立体をまず考えて、あとから円（円柱）と三角（三角柱）をくりぬくと考える
❶正方形だけくりぬいた立体の体積
右の面を底面と考えると底面積は
8×9－4×5＝72－20＝52㎠
高さ7㎝だからその体積は 52×7＝364㎤
❷くりぬいた円柱のうち❶と重ならない部分の体積
正面にある円を底面とする高さ2㎝の円柱2コがあとからくりぬかれる。「円の直径は3cm」だからその体積は
1.5×1.5×3.14×高さ2㎝×2コ＝28.26㎤
❸くりぬいた三角柱のうち❶と重ならない部分の体積
上面にある三角を底面とする高さ2㎝の三角柱2コがあとからくりぬかれる。三角形は3㎝、4㎝、5㎝の直角三角形だからその体積は
3×4÷2×高さ2㎝×2コ＝24㎤
よって❶－❷－❸より
364－28.26－24＝311.74㎤
⑵ くりぬいた後の立体の表面積を求めなさい。
同じようにいちばん大きい正方形（直方体）だけくりぬいた立体をまず考えて、あとから円（円柱）と三角（三角柱）をくりぬくと考える
❶正方形だけくりぬいた立体の表面積
外側… (8×9－4×5)×2＋7×9×2＋7×8×2=(52＋63＋56)×2＝342㎠
内側…4×7×2＋5×7×2＝(4＋5)×14＝126㎠
よって342＋126＝468㎠
❷円のくりぬきで変わる表面積
①ふえる分…正面にある円を底面とする高さ2㎝の円柱の側面積2つ分がふえるから
3×3.14×高さ2㎝×2＝37.68㎤
②へる分…円柱2つの上下の底面積（円4コ分の面積）がへるから
1.5×1.5×3.14×4＝28.26㎠
❸三角形のくりぬきで変わる表面積
①ふえる分…上面にある三角を底面とする高さ2㎝の三角柱の側面積2つ分がふえるから
(3＋4＋5)×高さ2㎝×2＝48㎠
②へる分…三角柱2つの上下の底面積（三角形4コ分の面積）がへるから
3×4÷2×4＝24㎠
よって❶❷❸より 468＋37.68－28.26＋48－24＝501.42㎠ 
