以前の記事の続きです。
今年出された仕事算の入試問題第3弾です。
その1（世田谷学園2023）
Aが10日間働いてから、Bが7日間働くと完成する仕事があります。同じ仕事を、Aが7日間働いてから、Bが10日間働くと全体の20%の仕事が残ります。この仕事をBが一人ですると□日間かかります。
Aの1日あたりの仕事量をA、Bの1日あたりの仕事量をBとすると
仕事量の全体…A×10＋B×7
仕事量の80％…A×7＋B×10
これを式にすると
(A×10＋B×7) ×0.8＝A×7＋B×10
となり
A×8＋B×5.6＝A×7＋B×10 より A＝B×4.4
ここでB＝5とするとA＝22、仕事量の全体は 22×10＋5×7＝255 となる。
よってBだけで仕事をしたときかかる日数は
□＝255÷5＝51日間
その2（聖光学院2023）
空の水そうにポンプAとポンプBの2台を使って同時に水を入れ始め、水そうを満水にする作業をします。作業の途中でポンプBが2分間停止したとすると、水そうが満水になるのに8分かかります。また、作業の途中でポンプAが8分間停止したとすると、水そうが満水になるのに12分かかります。
2台のポンプが途中で停止することなく動くとすると、水そうが満水になるのに何分何秒かかりますか。
状況を整理すると
- 「ポンプBが2分間停止したとすると、水そうが満水になるのに8分」→Aが8分、Bが6分で満水になる…㋐
- 「ポンプAが8分間停止したとすると、水そうが満水になるのに12分」→Aが4分、Bが12分で満水になる…㋑
Aの給水能力を毎分A、Bの給水能力を毎分Bとすると㋐㋑どちらでも満水になるから
A×8+B×6＝A×4+B×12 より A×4＝B×6
だから A：B＝3：2
ここでA＝③、B＝②とおくと㋐より満水時の水量は ③×8+②×6＝㊱
よってポンプが停止しないと ㊱÷(③+②)＝7.2分 で満水になるから 7分12秒
その3（成城中2023）
ある仕事をアオイさん、ミハルさん、サキさんの3人ですることになりました。同じ時間で、アオイさんはサキさんの6倍、ミハルさんはサキさんの2倍の仕事をします。この仕事をアオイさんが1人ですると12日かかります。1日仕事をするとアオイさんは 200円、ミハルさんは80円、サキさんは30円もらえます。
⑴ この仕事をサキさんが1人ですると、サキさんは何円もらえますか。
サキさんの1日あたり仕事量を①とする。このとき
- 「アオイさんはサキさんの6倍」の仕事をするからアオイさんの仕事量は⑥、「ミハルさんはサキさんの2倍」の仕事をするからミハルさんの仕事量は②
- 「この仕事をアオイさんが1人ですると12日」かかるから全体の仕事量は
（＝⑥×12） - とするとこの仕事をサキさんが1人ですると ÷①＝72日 かかる
よって「1日仕事をすると…サキさんは30円」もらえるのでサキさんがもらえるのは
30円×72＝2160円
⑵ この仕事をアオイさんとミハルさんが2人で一緒にすると、2人がもらえる金額の合計は何円ですか。
1日あたり仕事量はアオイさんが⑥でミハルさんが②。全体の仕事量は
だから2人で仕事をすると
÷(⑥+②)＝9日
かかる。
よって「1日仕事をするとアオイさんは 200円、ミハルさんは80円」もらえるから2人が9日ずつ仕事をするときもらえる金額は
(200+80)×9＝2520円
⑶ この仕事をアオイさんとミハルさんの2人で一緒に始めました。アオイさんは数日間仕事をしたところでサキさんと交代をし、ミハルさんとサキさんはそのまま2人で一緒に残りの仕事を終わらせました。その結果、ミハルさんはアオイさんがもらえた金額より80円少ない金額をもらいました。このとき、サキさんは何円もらえましたか。
上で使った1日あたり仕事量（アオイさん⑥、ミハルさん②、サキさん①）と全体の仕事量をここでも使うと
- アオイさんとミハルさんが一緒に仕事をするとき1日あたり仕事量は⑧（＝⑥+②）
- ミハルさんとサキさんが一緒に仕事をするとき1日あたり仕事量は③（＝②+①）
- とすると（仕事量の比8：3の逆比で）アオイさんとミハルさんが3日仕事をへらすごとにミハルさんとサキさんは8日仕事がふえるという関係になっている。
これを表にして考えると仕事量の合計がになる日数の組合せは次の4通りしかない（㋐が小問⑵で見たパターン）
このうち㋐と㋓は考えなくてよいから（3人とも最低1日は仕事をしたことは問題文から明らか）㋑と㋒についてもらえる金額を調べると
- ㋑について。アオイさんが6日仕事すると200×6＝1200円。ミハルさんが14日仕事すると80×14＝1120円。その差80円で「ミハルさんはアオイさんがもらえた金額より80円少ない金額をもらいました」との条件に合う。
- 答えは出たが一応㋒も調べておくと、アオイさんが3日仕事すると200×3＝600円。ミハルさんが19日仕事すると80×19＝1520円。これだとミハルさんの金額の方が多くなり条件に合わない。
よって㋑の場合にサキさんがもらえるのは8日分の金額なので
30円×8＝240円 
