以前の記事の続きです。
数の性質からの今年の出題例の第6弾です。
偶数の和と奇数の和の大小（穎明館2023）
2から100までの偶数の和は、1から99までの奇数の和より▢大きいです。
和から和を引くよりも
2－1＝1、4－3＝1、…、100－99＝1
と一つずつ引いていって最後に足した方が簡単。これをするとその差は
1×50＝50
商と余り（関東学院中2023B）
ある整数を23で割ると商と余りが等しくなりました。このような数のうち、最も大きい整数はいくつですか。
ある数アを23で割ると商と余りがどちらも▢になるとき
ア÷23＝▢あまり▢（▢は22以下の整数）
という式ができる。この式は
ア＝▢×23+▢…①
と書きかえられる（たとえば「7÷2＝3あまり1」は「7＝2×3+1」と書きかえられることを考える）
さらに①は結合法則を使って
ア＝▢×23+▢×1＝▢×(23+1)＝▢×24
と書きかえられる。
ここで▢は22以下の整数だからアが最も大きくなるのは▢＝22のとき。
よって条件をみたす最も大きい整数は
22×24＝528
数の大小（須磨学園2023第2回）
下のような①2を16回かけた数と②5を8回かけた数について
この2つの数の大きさを比べたとき、小さいほうは▢です。
▢に①か②のどちらが入るか答えなさい。
①「2を16回かけた数」は2×2＝4を8回かけた数に等しい。
とすると①4を8回かけた数の方が②5を8回かけた数より当然小さいから小さいほうは ①
作れない最大の数（早稲田高等学院中等部2023）
10、11、12の数が1つずつ書かれたカードがそれぞれたくさんあります。同じ数の書かれたカードを何枚選んでもよいものとして、選んだカードに書かれた数をすべて足して整数を作ります。例えば、31は10と書かれたカード2枚と11と書かれたカード1枚を足して作ることができますが、25は3種類のカードに書かれた数をどのように足しても作ることができません。このとき、作ることのできない整数のうち最大のものを求めなさい。
まず10、11、12を1枚使うと10～12のすべての数が作れる。
ここから使う枚数を1枚ずつふやしていき作れる数を調べると
- 2枚目の10、11、12を使うと20～24のすべての数
- 3枚目の10、11、12を使うと30～36のすべての数
- 4枚目の10、11、12を使うと40～48のすべての数
- 5枚目の10、11、12を使うと50～60のすべての数
が作れる。このあとは10のカードを使うだけで61以上の数がすべて作れてしまうから、60以下で作れない最大の数を上からさがすと 49
2の倍数または7の倍数（立教新座2023）
1から100までの整数のうち、2の倍数または7の倍数である数について、次の問に答えなさい。
① 8の倍数でないものは何個ありますか。
まず「1から100までの整数のうち、2の倍数または7の倍数である数」の個数を調べると
- 2の倍数は 100÷2＝50 より 50コ…①
- 7の倍数は 100÷7＝14あまり2 より 14コ…②
- そのまま①+②をすると2と7の公倍数を2回ずつ数えてしまうからこの1回分を引く。それには2と7の最小公倍数である14の倍数の個数を引けばよくその個数は 100÷14＝7 より 7コ…③
したがって2の倍数または7の倍数は57コ（＝①+②－③）
ここから8の倍数の個数を引けば「8の倍数でないもの」の個数が出せる。
よって 100÷8＝12あまり4 より8の倍数は12コあるから求める個数は
57－12＝45個
②Aの倍数でないものは56個ありました。Aにあてはまる整数は何通りありますか。
2の倍数または7の倍数が57コあるのに「Aの倍数でないものは56個」ということはAの倍数は1コだけということ。
- まずAは51以上の数だとわかる。もしAが50以下の2の倍数または7の倍数ならA×2も必ず「1から100までの整数のうち、2の倍数または7の倍数」となってしまいAの倍数は2コ以上になってしまうため
- そこで51～100の2の倍数を考えると52から100まで25コある
- また51～100の7の倍数は56から98まで7コある
- 2と7の公倍数が4コ（56、70、84、98）あるから51から100までの整数のうち2の倍数または7の倍数は28コ（＝25＋7－4）あり、Aがこの28コのうちどれかならAの倍数は1コだけとなる
よってAにあてはまる整数は 28通り 
