以前の記事の続きです。
立体の体積問題でも、平面図形の面積問題と同じように、等積変形を考えることで糸口がつかめることがあります。
たとえば次のような問題。
三角すいの等積変形①（須磨学園中2022第2回）
下の図のような1辺が5㎝の立方体ABCDEFGHがあり、点Iは辺CGの真ん中の点で、点Jは辺DHの真ん中の点です。
このとき、下の図のような立体ACFIJの体積は▢㎤です。
ただし、三角すいの体積は底面積×高さ÷3で求めることができます。
求める「立体ACFIJ」は一見変な形だが、よくよく観察すると①△ACIを底面とする三角すいACIFと②△ACIを底面とする三角すいACIJの2つに分けられる。
そして、たとえば①三角すいACIFなら、頂点FをBに移動させても高さ（△ACIを底面としたときの）は変わらないので、三角すいACIB（赤）に等積変形できる。
同じように、②三角すいACIJは三角すいACIDに等積変形できる。
。
よって、その体積は四角すいABCDIの体積と同じなので
底面積25㎠×高さ⁵⁄₂㎝÷3＝¹²⁵⁄₆㎤
三角すいの等積変形②（本郷中2021第3回）
図のような1辺の長さが6cmの立方体があります。この立方体を3点A、F、Gを通る平面で切ります。このとき、点Eを含むほうの立体を残し、その立体の上に3点A、F、Gを底面にもち、高さがもとの立方体のひとつの面の対角線の半分である三角すいPAFGをつけます。なお、PA=PF=PGです。このとき、次の問いに答えなさい。
⑴ 三角すいPAFGの体積は何㎤ですか。
三角すいPAFGは下の図の右の形（青）となる。
この頂点PをBに移動させても底面積は変わらず（△PFG＝△BFG）、高さも共通（辺AB）なので、三角すいBAFG（赤）に等積変形できる。
よって、三角すいBAFGの体積を、△BFGを底面、辺ABを高さとして求めると、
6×6÷2×6÷3＝36㎤
⑵ 三角すいPAFGともとの立方体の頂点Bを用いた三角すいBAFGで重なる部分を考えます。この部分の体積は何㎤ですか。
まず「三角すいPAFGともとの立方体の頂点Bを用いた三角すいBAFGで重なる部分」もまた三角すいとなる（つぎの点線の立体）。
そしてPFとBGの交点をQとすると、この三角すいQAFGは△QFGを底面、辺ABを高さとする立体とみることができる。
底面の△QFGに注目すると、つぎの正面図にあるように△QPBと相似（相似比2：1）なので QG：QB＝2：1。となると辺の比と面積比の関係より△QFGの面積は△BFGの⅔倍。
よって、小問⑴で求めた三角すいBAFGと比べたとき、底面積が⅔倍、高さは同じなので、三角すいQAFGの体積は三角すいBAFGの⅔倍で 24㎤ 
