以前の記事の続きです。
前回は、立体切断の問題で2回以上切断した後の立体の体積を求めさせるものでは、切断する順番を変えてみるとうまく行くことがあるという話でした。
ふつうの体積の重なりを求める問題（立体切断の問題ではない）でもこのテクニックを使うと、求める立体をイメージしたり、その体積を求めたりするのに役立つ場合があります。
たとえば次の問題。
右の図の直方体ABCDーEFGHは、AB＝AD＝2㎝、AE＝4㎝の直方体で、I、JはそれぞれBF、CGの真ん中の点です。このとき、四角すいAーIFGJと四角すいEーBIJCの重なっている部分の体積を求めなさい。（東大寺学園中2022）
体積計算をしようにも、そもそも「重なっている部分」の立体の形がきわめてイメージしにくい問題です（これが断頭三角柱だとわかったら半分解けたようなものです）。
そこで、いったんこれを立体切断の問題だと考えてみる。すると直方体ABCDーEFGHを❶面ADJI、❷面ADGF、❸面ACGEで切ると四角すいAーIFGJができ、❹面BCHE、❺面IJHE、❸面ACGEで切ると四角すいEーBIJCができるので、「重なっている部分」は❶❷❸❹❺で5回切ったときに残る部分だということがわかります。
この切る順番を少し変えてみると（さらに❻IJを通る底面に水平な平面も使うと）遠回りなようですが、求める立体がイメージしやすくなります。
直方体ABCDーEFGHを①面ADJI、②面BCHE、③IJを通る水平な平面、という3つの平面で切断すると、これらで囲まれた部分は次のような三角柱（黒）になる。
この三角柱をさらに④面ACGEで切断した立体（断頭三角柱）を上下逆向きに2つつなげると「重なっている部分」と同じ形になる。
そこでまずはこの断頭三角柱（「T」とする）の体積を求める。
Tの底面積
黄色い2つの三角形は互いに相似で相似比2：1となっているから、その高さの比も②：①。BI＝2㎝より、Tの底面の三角形の高さ①＝⅔㎝とわかり、Tの底面積は1×⅔÷2＝⅓㎠。
Tの高さ（平均の高さ）
Tの高さが3つあるのでその平均の高さ（過去記事）を使う。
❶一番高いのは辺IJで2㎝
❷真ん中の高さは、△AIJに注目すると IJ×⅔＝⁴⁄₃㎝
❸一番低い高さは、△BCEに注目すると1㎝
よって、Tの平均の高さは (2+⁴⁄₃+1)÷3＝¹³⁄₉㎝
以上より、Tの体積は ⅓×¹³⁄₉＝¹³⁄₂₇㎤。「重なっている部分」はTの2コ分の体積なので ²⁶⁄₂₇㎤ 
