3を何回書くか（整数問題）

前回取り上げた問題「3を含む整数が何個あるか」としっかり区別したいのが、今回取り上げる「3は全部で何回書くか」という問題です。こちらもそこそこ出題されています。

たとえば次の問題。

4を書く回数（高輪中2021）

紙に1から2021までの数字を書き並べました。このとき、数字「4」は何個書きましたか。

まず「1、2、3、…」を「001、002、003、…」という書き方をしたとしても4が現れる回数に違いはない。また最初に「000」をつけたしても4が現れる回数に違いはない。そこで問題文にある「1から2021まで」→「000から2021まで」と読みかえて考える。

そして❶000～999、❷1000～1999、❸2000～2021の3つに分けて考える。

❶000～999の数字を書くとき、0から9の数字はすべて同じ数だけあるはずだから、それぞれ3×1000÷10＝300コある。これが数字4を書く個数となり300コ。

❷1000～1999についても同じく300コ。

❸2000～2021のなかで使われる4は2004と2014にある2コだけ。

よって❶❷❸の合計で602個

3を書く回数（東邦大付東邦中2019）

次の問いに答えなさい。
⑴ 1から999まで小さい順に整数を書くとき、”3”は全部で何回書くか求めなさい。

問題文にある「1から999まで」→「000から999まで」と読みかえても3が現れる回数に違いはない。そのように読みかえて考えると、000から999まで数字を書くとき、0から9の数字は同じ数だけあるから、それぞれ3×1000÷10＝300コある。

これがそのまま「3は全部で何回書くか」なので300回。

⑵ 259から3111まで小さい順に整数を書くとき、”3”は全部で何回書くか求めなさい。

「259から3111まで」を❶300～3099、❷259～299、❸3100～3111の3つに分けて考える。

❶300～3099の2800コについて

㋐下2けたに注目すると、00から99までの100コ中、3は20回（＝2×100÷10）現れるから、この2800コだと20×28＝560回

㋑残りのけたに注目すると、3XX、13XX、23XXとなるときに百の位で3が現れ、30XXとなるときに千の位で3が現れる。それぞれに対して下2けたの数字100コがあるから4×100＝400回

❷259から299までで3が現れるのは263、273、283、293の4回

❸3100から3111までで3が現れるのは千の位で12回、一の位で1回の計13回

以上の❶❷❸の合計で977回。

⑶ 1から小さい順に整数を書いていくとき、2020回目に書いた”3”がふくまれる整数を求めなさい。

小問⑴⑵がヒントになるところもありますが、大部分はいかに正確に調べ上げられるかの力技となります。

❶まず000～999で3は300回現れる（小問⑴）。1000～1999、2000～2999でも同じく300回現れ、ここまでで900回。しかし3000～3999では1300回現れる（千の位で1000回ふえる）ので、3999までたすと2200回となり2020回を超えてしまう。つまり求める数は3000～3999の中にある。

→とりあえず2999までに書いた3は900回。

❷次に3000～3099で3は120回（千の位で100回+下2けたで20回）現れる。3100～3199、3200～3299でも同じく120回。3300～3399では220回となるが（百の位で100回ふえるので）、3400～3499ではまた120回にもどる。こうして3799までたしていくと1960回。しかし3899までたすと2080回となり超えてしまうので、求める数は3800～3899の中にある。
→とりあえず3799までに書いた3は1960回。

❸さらに3800～3809で3は11回（千の位で10回+一の位で1回）現れる。3810～3819、3820～3829でも同じく11回現れるが、3830～3839では21回現れる（十の位で10回ふえるため）。こうして3839までたしていくと2014回。しかし3849までたすと2025回となり超えてしまうので、求める整数は3840～3849の中にある。
→とりあえず3839までに書いた3は2014回。