学習教材に使わないのはもったいない入試問題③（約数の和）

以前の記事の続きです。

次のような一行問題が出されることがあります。

対策ができている小学生も多いことと思いますが、もしまだならたとえば次の入試問題を使うなどして、夏のうちに約数の和の求め方を完璧にしておきたいところです。

三田くんと玉川さんが、約数について話をしています。
三田くん：ねぇ玉川さん、整数の約数について、先生から面白い話を聞いたんだ。
玉川さん：どんな話？
三田くん：例えば、12の約数が何個あるかって問題はどうやって考える？
玉川さん：こうやって書いて、6個って考えるかな？

三田くん：僕もそうやって解いていたんだけど、全部の約数を書き出さなくても分かる方法を教えてもらったんだ。
玉川さん：どうやるの？教えて！
三田くん：まずは、12を素数のかけ算で表すと、12＝2×2×3だね。
玉川さん：それで？
三田くん：2×2の約数を横に並べ、別の素数である3の約数を縦に並べて長方形を区切ると、区切られてできた四角形の個数が約数の個数になるんだよ。

玉川さん：なるほどね。しかもそれぞれの四角形の面積が約数と対応してるんだね。
三田くん：玉川さん、すごい。そうなんだよ。僕は先生に言われるまで、そのことに気づけなかったな…。だから、12の約数の和をすべて求める問題が出たら、1+2+3+4+6+12と計算しなくても解けるんだ。そして、図の長さが正確でなくても求められるね！
玉川さん：なるほど。面白い解き方を教えてくれてありがとう！
（三田国際学園2022）

上の四角形の面積を求めればよい。タテと横でそれぞれまとめて計算すると、タテが4（=1+3）、横が7（＝1+2+4）の長方形となっているので

4×7＝28

上の会話文にしたがって求めてみる。

まずは3969を素数のかけ算で表すと、3969＝3×3×3×3×7×7。

そこで3×3×3×3の約数を横に並べ、別の素数である7×7の約数を縦に並べて長方形を区切る。

この区切られてできた四角形の個数が約数の個数になるから 3×5＝15個

それぞれの四角形の面積が約数と対応しているから、タテと横でそれぞれまとめて計算すると、タテが57（=1+7+9）、横が121（＝1+3+9+27+81）の長方形となっているので

57×121＝6897

ということで冒頭の問題も同じように考えて、132＝2×2×3×11 より
(1+2+4)×(1+3)×(1+11)=7×4×12＝336
が答えとなります。

3種類の素数が出てきますが、「四角形の面積が約数と対応」→「直方体の体積が約数と対応」と読み替えて、同じ手順で約数の和が求められます。