今回取り上げるのは「N進法」です。
こういう問題です。
下の表のように、0と1のみを利用して数を表します。このような表し方を二進法といいます。私たちが普段、利用している数の表し方は十進法といいます。（聖学院中2022帰国）
⑴ 20を二進法で表すと▢となります。
このように「十進法をN進法で表したらどうなるか？」というのがN進法の基本問題となります。ここから先は二進法（N＝2のとき）で説明します。
「10コで位が上がるのが十進法、2コで位が上がるのが二進法」
十進法を2進法に直すときは2のわり算をくり返す（2コで位があがるので）ことになるため、ふつうのわり算の筆算とは逆方向に進む「すだれ算」（最大公約数・最小公倍数でも使った）を使います。
このあまりと最後の商を逆から並べた 10100 が小問⑴の答えになります。
⑵ ★のついている数に注目すると、以下のようになります。▣に入る数は▢です。ただし、▣にはすべて同じ一けたの数が入ります。
4=▣×▣
8=▣×▣×▣
16=▣×▣×▣×▣
「10コで位が上がるのが十進法、2コで位が上がるのが二進法」なので、二進法では右から順に1の位、2の位、4の位、8の位、16の位…となります。
これの説明なので▣に入るのは 2
⑶ ⑵より、二進法の「1000000」は、十進法の▢を表していることがわかり、十進法の1024を二進法で表すと▢けたの数になることがわかります。
「10コで位が上がるのが十進法、2コで位が上がるのが二進法」より、二進法「1000000」は右から7つめ（64の位）に「1」があるので、十進法の 64 を表します。
また十進法1024はその十進法64をさらに「×2×2×2×2」したものなので、二進法「1000000」が7けたなら、ここからさらに4けた増えた 11けた となります。
変則N進法
ここからが本題になります。
「10種類の数を使うのが十進法、2種類の数を使うのが二進法」
ここまで「10コで位が上がるのが十進法、2コで位が上がるのが二進法」というN進法の表の性質を使ってきましたが、入試で同じくらいよく取り上げられるのがN進法の裏の性質「10種類の数を使うのが十進法、2種類の数を使うのが二進法」を利用する考え方です。「変則N進法」と呼ばれたりします。
数字の1と2だけを使って整数を作り、小さいほうから順に1, 2, 11, 12, 21, 22, 111, …のように並べます。小さい方から33番目の整数を答えなさい。（豊島岡2021第3回）
「10種類の数を使うのが十進法、2種類の数を使うのが二進法」だと考えると、本問は1と2の2種類の数字を使う問題なので2進法を利用できる問題（変則2進法の問題）だと考えることができます。
そこでこれをすだれ算で考えると次のようになります。
さきほどのふつうのすだれ算と一つ違う点は青字部分で、0を使わない2進法であるため、本来なら「あまり0」となるはずのところは一つ手前で止めて「あまり2」にするという工夫が必要になります。
答. 11121
これを規則性の問題として解こうとすると、1けたの数は1と2の2コ、2けたの数はこれに1Xと2Xが加わって4コ、3けたの数はこれに1XXと2XXが加わって8コ、4けたの数は16コ。ここまで30コなので、33番目の数は5けための3番目となり11111→11112→11121という求め方になる（どうしても時間が余計にかかってしまう。とくに「3333番目」など数字が大きくなったような場合）。
