このブログのフロワーさんで
間違えて書いている人がいるので、ちょっと調べてマ三した
まず、年賀状作成ソフトの「筆ぐるめ」を販売している 富士ソフトの
「筆ぐるめ」公式サイトに乗っていることですが
元旦と、元日を間違えて書いている人がいますね（もう直したかもしれませんが）
元旦：元日の朝
（「旦」という字は、太陽を表す「日」と地平線を表す「一」から成り立っている）
元日：一月一日
上記が、基本的な意味だと言われています。
「元日」は、１月１日の“１日”を、「元旦」は１月１日の“午前中”を指すこととなります。
では、「元旦の朝」という表現は誤りなのでしょうか？
その答えは、必ずしもそうとは言えない、です。
国語辞典の中には、「元旦」の意味として「元日」を載せているものもあります。
しかし、「元旦の朝」は重複表現であり、避けるべき、
としている辞書もありますので、「元旦」を「元日」という意味では
使わないほう良いかもしれませんね。
そして、
フリー百科事典『ウィキペディア（Ｗｉｋｉｐｅｄｉａ）に乗っている内容ですが
元日と元旦
「元日」に類似する言葉として「元旦」がある。『大辞泉』では、
本来「旦」は「朝・夜明け」の意であるから、
「元旦」は「元日の朝」（初日の出）を指すとしている。
他方、『日本国語大辞典』等では、
「元旦」は「元日」と「元日の朝」の両方の意味を持つとしている。
『新撰漢和辞典』は、「旦」という漢字自体に「いちにち」という意味はあるとしており、
例えば、「月旦」は、「毎月一日」のことを指す。
「元旦」は中国語から日本語へと輸入された語彙であるが、宋代の中国語文献においても
正月朔日，謂之元旦，俗呼為新年。（正月の一日は、元旦といい、俗に新年とも呼ぶ）
といった「元日」の意での用例が見られる]。
日本においては、室町中期の文明本節用集が、
元旦 ゲンタン 正月一日
とする一方、１７世紀の日葡辞書は、正月の「アシタ」（朝）と語釈する。
また、坂口安吾の『新春・日本の空を飛ぶ』（１９５１年）において
元旦正午、ＤＣ四型四発機は滑走路を走りだした。
の、ような用例が見られる。