2の30乗は何桁で，最高位の数字は何か？

【問題】
(1) 2³⁰は何桁か？ただし，log₁₀2=0.301とする．［頻出問題］
(2) 2³⁰の最高位の数字は何か？［知っておくと便利］

【解答】
(1) log₁₀2³⁰
=30×log₁₀2
≒30×0.3010
=9.03

9＜9.03＜10だから，
9＜log₁₀2³⁰＜10
log₁₀10⁹＜log₁₀2³⁰＜log₁₀10¹⁰

log₁₀2 を取って，
10⁹＜2³⁰＜10¹⁰

10⁹は10桁，＜10¹⁰は11桁だから，2³⁰は10桁

(2) (1)より

2³⁰
=10^9.03
=10^9+0.03
=10⁹×10^0.03

ところで，
10⁰＜10^0.03＜10^1/4＜10^1/2

10^1/2≒√10=3.16

10^1/4
=(10^1/2)^1/2
=3.16^1/2＞3^1/2
=√3≒1.73

したがって，10⁰＜2³⁰＜10⁹×1.73だから，

2³⁰の最高位の数字は1


【参考】2³⁰=1073741824


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