先に
cn = an + i bn
x(t) = Σ_(-∞->∞)cn exp(i ωt) ω=2πn/T
と置きました。
この『Σ』の部分がT→∞にすることによって滑らかで連続的な積分『∫』に置き換えられるとしました。
この時に問題になるのが複素数の実数部と虚数部です。
フーリエ変換、フーリエ逆変換後に虚数部も出てくる訳ですが
扱っている関数が遇関数であるか奇関数であるかによって結果が変わってきます。
まず、∫（Σ）を除いたその後の部分をみてみます。
cn cos(ωt + φ(ω))
φ(ω) = tan-1(bn/an)
こちらはグレースケール(R=G=B)
での処理になります。
この値を255で割った0～1の値をピクセルごとに行列でたどっていけば
立派な波と捉えることができます。
その変化の大きいところをぼかす効果があるのが
ローパスフィルターではないでしょうか？
逆にその変化の大きいところだけを抜き出しものが
ハイパスフィルターということでは？
これらが実際に利用されているのは
ローパスフィルター：スピーカー、アマチュア無線
ハイパスフィルター：オーディオアンプ
などがあるそうです
元画像
ローパスフィルター
ハイパスフィルター
縮小せざるを得ませんでした
