最近観始めたNHKオンデマンドの「３か月でマスターする数学」。
第7回まで見終えた。
その中でも「数学的思考」を取り上げている第4回と第5回は印象的だった。
今後論点設定をしたり、問いに対する解を導こうとする際に、
これらの視点を思い出せるようにしたい。
- 1対1対応
- 絞り込み（聞き込み）
- 不変要素（防犯カメラ）
- 視覚化（相関図）
- 規則性（張り込み）
- 視点変え（方針転換）
- 場合分け（分類）
- 極端論法（極端な事例）
- 既知への帰着
- 実験・試行
- 次元下げ
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1対1対応
ある集合の要素と別の集合の要素を一対一に対応させることで、問題を整理したり、新しい見方を得たりする方法。たとえば、椅子の数と人の数を対応させることで、余りがあるかを確認するような状況で使われる。
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絞り込み（聞き込み）
多くの選択肢から条件を使って候補を絞り込む方法。推理や調査の場面でよく使われ、例えば「犯人は左利き」という情報を得ることで、候補を半分に減らすといった使い方がある。
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不変要素（防犯カメラ）
どんな状況でも変わらない要素を見つけ、それを基準にして問題を整理する手法。たとえば、数学では「図形の合同や相似において長さや角度が変わらない部分を探す」、物理では「エネルギー保存則を使って運動の前後の関係を考える」といった使い方がある。防犯カメラの例えで言えば、「状況が変わっても常に映像は記録されている」ように、変わらないものを軸に考えることで、本質的な部分が見えてくる。
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視覚化（相関図）
複雑な情報を図や表を使って整理し、直感的に理解しやすくする手法。例えば、人間関係を相関図にしたり、データの分布をグラフ化したりして、見えにくいパターンを発見するのに役立つ。
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規則性（張り込み）
繰り返し現れるパターンや法則を見つけ、次の展開を予測する方法。例えば、特定の時間帯に何度も現れる人物を張り込んで、その行動の規則性を分析するような使い方がある。
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視点変え（方針転換）
別の視点や立場から問題を見ることで、新たな解決策を見つける方法。例えば、売れない商品を「顧客が求めていない」と考えるのではなく、「別の用途があるのでは？」と発想を転換する。
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場合分け（分類）
問題をいくつかのケースに分け、それぞれについて検討する方法。例えば、整数の性質を考えるとき、「偶数の場合」「奇数の場合」に分けて考えると、議論が明確になる。
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極端論法（極端な事例）
極端なケースを考えることで、本質的な問題を浮き彫りにする手法。例えば、「1000人が同時に同じことをしたらどうなるか？」を考えることで、システムの限界や矛盾を発見できる。
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既知への帰着
未知の問題を、すでに解決済みの問題に変換する方法。例えば、新しい数学の証明を、すでに知られている定理を使って示すことで、ゼロから考える負担を減らす。
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実験・試行
実際に試してみることで、仮説の正しさを確かめる方法。例えば、新しいアルゴリズムの有効性を確認するために、サンプルデータを使って実験する。
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次元下げ
問題をよりシンプルな次元に落とし込むことで、解決しやすくする手法。例えば、三次元の図形の性質を考えるとき、まず二次元の断面図を考えることで理解を助ける。
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背理法
ある命題が正しいことを示すために、それが偽であると仮定し、矛盾が生じることを示す手法。例えば、「√2が有理数だと仮定すると矛盾が生じるので、無理数である」と証明する。
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帰納法
小さいケースで成り立つことを確認し、それを一般的なケースに拡張する方法。例えば、「1からnまでの自然数の和が公式で表せる」ことを証明する際に使われる。
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発想の逆転
目的から逆算して考える手法。例えば、迷路を解く際に、ゴールからスタートへ逆向きにたどると簡単になることがある。
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抽象化
具体的な問題から余分な情報を取り除き、本質的な構造だけを抜き出して考える方法。例えば、チェスの戦略を「駒の動き」ではなく「資源管理の問題」として捉えることで、新たな視点を得られる。
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モデル化
現実の問題を数式やフレームワークを使って表現し、分析しやすくする手法。例えば、交通渋滞をネットワーク理論のモデルに落とし込んで、解決策を探る。