對應
各無窮集合的對應
自然數與偶數的對應 1對應2=2*1 2對應4=2*2 3對應6=3*2...
自然數與整數的對應 1對應0 2對應1 3對應-1 4對應2 5對應-2....
自然數與有理數的對應 1對應0/1 2對應1/1 3對應-1/1 4對應0/2 5對應1/2 6對應2/2 7對應-1/2 8對應-2/2 ....
自然數與代數數的對應 比較複雜 限於篇幅 這裡略過 有興趣可以自行搜尋 只說結論 自然數集合與代數數集合能一一對應
上述的對應都是無窮集合與無窮集合對應 也都是離散的無窮集合 問題是 離散的無窮集合能和連續的無窮集合對應嗎?
離散與連續的對應 即自然數集合與自然數集合冪集合(實數集合)的對應
康托的證明 結論是 離散與連續不能一對一對應
但是
我的證明 結論是 離散與連續能一對一對應
即自然數集合與自然數集合冪集合(實數集合)能一對一對應
為了畫面簡單 以2進位(2等份)說明 進位制的不同不影響證明結果
證明內容如下:
證明:離散與連續能一對一對應
圖一(全圖)
圖二(數線圖)-將所有自然數都畫在直線上
圖三(線段圖)-將所有自然數都畫在線段AB上 1標示在線段AB中點 2標示在線段1B中點 3標示在線段2B中點 4標示在線段3B中點...
圖四(三角形圖一)-對一個邊(線段BD)進行第一次2等分(單次) 等分後 能在線段BD得到一個點 對應到11'線段上
圖五(三角形圖二)-對一個邊(線段BD)進行第二次2等分(單次) 等分後 能在線段BD得到兩個點 對應到22'線段上
對一個邊(線段BD)進行第三次2等分(單次) 等分後 能在線段BD得到四個點 對應到33'線段上
...
對一個邊(線段BD)進行2等分(無窮多次) 所有在線段BD上得到的點 均能對應到三角形ABD內
線段BD是連續的 無窮多次等分線段BD 所得到的點就是線段BD上所有的點 也都能對應到三角型ABD內 三角形ABD內的點是離散的
這就是離散和連續的對應 離散的無窮集合可以和連續的無窮集合一一對應
每次等分線段BD所得到的點 以10進位表示 依序是 0.5 0.25 0.75 0.125 0.375 0.625 0.875...
都可以和 1 2 3 4 5 ...對應 其中 1對應0.5 2對應0.25 3對應0.75 4對應0.125 5對應0.375...
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