連證公數_點的大小與1除以3等於0.3循環
承上一個證明(連證公數_點的大小與1不等於0.9循環)
證明 1不等於0.9循環
但是 1/3等於0.3循環
因為 3*1/3=1 0.3循環*3=0.9循環
這裡會有一個矛盾
但是這個矛盾正好能證明 點的大小不等於0
自然數集合 和實數集合 能一對一對應 能推出以下結果
自然數集合元素個數 是 序的概念中 最大的一個
任意 n進位制 之間 均能一對一對應
自然數集合 和任意無窮多個元素集合 均能一對一對應
自然數集合 和有理數集合+無理數集合+超越數集合 能一對一對應
10進位制自然數集合 和2進位制自然數集合+3進位制自然數集合+4進位制自然數集合+.... 能一對一對應 這就是 為什麼1不等於0.999... 但是1/3=0.333...一個很重要的原因 其他原因 點的大小不等於0
因為點的大小不等於0 而是1/自然數集合元素個數 (這個概念 大於0 小於任意實數)所以 不論是 實數集合 有理數集合 無理數集合 超越數集合... 或是任意組合而成的集合 自然數集合均能一對一對應 且 會產生 無法準確表達的情形 1/3與0.333.... 就是一個例子
進位制表達數的概念的極限
a不能表達點的大小 只能表達到無窮小實數
b不能表達自然數集合元素個數 只能表達到無窮大自然數
c當任意兩數的差值 小於或等於點的大小 如1/3與0.333... 只能以無窮小實數為近似值
d以3進位的0.1和10進位的1/3與0.333...為例說明 用以下6張圖說明 10進位的0.3循環 與3進位的0.1(=10進位的1/3)
圖一 點在直線的位置
圖二 3進位點的位置
圖三 10進位點的位置
圖四 3進位的直線和10進位的直線接近
圖五 3進位的直線和10進位的直線進行重合
圖六 3進位的直線和10進位的直線重合完畢 並將原本3進位的直線 與10進位的直線放在旁邊對照
因為點的大小大於0 不等於0 且 自然數集合元素個數的概念 是序的概念中 最大的一個 等於 實數集合元素個數 所以直線上的點能一對一對應 但由於位置不同 所以 會出現 1不等於0.9循環 但是 1/3等於0.3循環
對於數 我們先認識 自然數 0 負數 分數 小數 無理數 代數數 超越數... 這未必能符合 集合的分類
當然 我們可以把
所有的無理數 當成一個集合
所有的代數數 當成一個集合
所有的超越數 當成一個集合 ...
但 事實上 能和10進位一對一對應的集合 可能是 算式數集合
亦即 存在一個 由各種算式得到的值 可在數線上標示 而這樣的算式數集合 包含了 我們所認識的 還不認識的數線上的值
這個集合 能和10進位一對一對應 能和3進位一對一對應 能和2進位一對一對應...但卻不一定每個值都相等
由上述可知另外的結論
幾何和數論並不等同
數論的 1/3與0.333...是同一個數 相等 1與0.999...是兩個數 不相等 是存在矛盾的
幾何的 1/3與0.333...是兩個點 不相等 1與0.999...是兩個點 不相等 是沒有矛盾的
證明幾何和數論等同的證明 是錯誤的