名大いとはる模試の裏話を語ろうと思う(予告と違ったが)
問題はツイッターにて確認してほしい
理系
① 面積評価を用いた極限(はさみうちの原理)
これは有名な問題なので是非とも完答してほしい。
(個人的には最後の問題を逆数バージョンにして少し難易度を上げたかった。極限値もeになって綺麗だし)
②通過領域の問題
これは某参考書(出典は忘れてしまった)の一般系である。(参考書では本問にあたるD(1)を図示せよ。 で終了していた)
その後、ay≧0の部分の面積の最小値を求めよ という問題は相加平均相乗平均の関係を利用する(放物線の方程式を見て思いついた)
最後の問題はy-x=kとして考えれば良い
この問題の最初の難関はa>0の場合とa<0の場合を分けることができるかどうかだと考える(文系の方にはこれを補助するためにa=±1の場合にまず考えよ. という誘導を入れてある)
③確率漸化式
名大といえば確率漸化式みたいなところはある。
今回の問題はだいぶシンプルだったが答えは結構ややこしくなったと思う。 根号の中に57が出てきたのでこのまま採用した。
④整数
今回最も力を入れて作問した。
まず以下の問いを考えてほしい。
10進数の場合について考える
⑴3の倍数の判定法は？
⑵11の倍数の判定法は？
⑶7の倍数の判定法は？
⑴各桁の和が3の倍数
⑵偶数桁目の和≡奇数桁目の和(mod11)
⑶一の桁をなくして一桁ずらす。 できた数から、なくした一桁目の2倍を引いた数が七の倍数
(例 6559→655-9×2=637=91×7より6559は七の倍数)
今回なこの⑶に着目して問題を作った
上の例でいうと655-9×2=637は63-7×2=49と再度判定法を作ることができる。 2倍→4倍→8倍→…と一桁目は2^n倍される。そして2^nを7の倍数で割った余りは1,2,4,1,2,4,…と続く。(これがbn)
初項の指定がなければb_n=1,2,4,1,2,4,…以外にも6,5,3,6,5,3,…も条件を満たすことは自明である。(そうすると②の無限級数が考えずらくなる)
文系
①通過領域の問題
誘導を追加し、さらに最後の大問を消す
②確率漸化式
理系と変更なし
③整数
理系ではbnが１つしかないことを示す必要があるが文系ではそれに触れなかった。 代わりにbnを用いた計算問題を⑷では出題した。
今回の反省
訂正めっちゃあったので確認する