高校入試で使える高校数学の公式①

先日本屋で、早慶付属校の過去問を見ていました。

パラパラと数学をみていると、中学数学分野でどうやって解いたらよいか分からない問題がちらほらと。

解答を見るとなるほどなーとは思うものの、次に見たときも確実にこの解き方は思い付かないだろうな、なんて考えました。

調べてみると、やはり高校入試でも上位校では高校数学範囲の定理や公式を覚えているのは必須っぽい？

思えば中学受験のときも、上位生は方程式必須でしたのでまあ同じことなのでしょう。

身に付けておいた方がいい公式や定理はいくつもあるっぽいですが、その中でも比較的すぐに使いこなせそうだなーと思ったものがあったので紹介してみたいと思います。

といっても高校数学では当たり前のものですし、高校入試においては有名みたいなので参考にはならないかもしれませんが

①メネラウスの定理

任意の直線lと三角形ABCにおいて、直線lとBC、CA、ABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。

${displaystyle {AF over FB}cdot {BD over DC}cdot {CE over EA}=1}$

出典：wikipedia

ABからはみ出た直線lがあるとあまり見覚えないかも知れないですが、

こっちならよく見る形と思います(くちばしみたいな)

中学数学としての解き方なら補助線を引いて相似を作るのが正式ですが、その解き方ができるのであれば使っても問題ないでしょう

後続のチェバの定理と同じく、式だけ見ると複雑ですが、点Aから追っていけば順番になっているので比較的覚えやすいですね

②チェバの定理

三角形ABCにおいて、三角形の内部に任意の点Oをとり、直線AOとBC、BOとCA、COとABの交点をそれぞれD、E、Fとする。この時、次の等式が成立する。なお、点Oは、三角形の内部にあっても外部にあってもよい。

${displaystyle {AF over FB}cdot {BD over DC}cdot {CE over EA}=1}$

出典：wikipedia

これもメネラウスの定理とセットで高校数学で覚えますね。

そのまんま使えることはあまり多くない気がしますが、使いこなせれば応用は利くようなきがします(どっち)

③ヘロンの公式

3辺の長さが a, b, c である三角形の面積 S は

${displaystyle S={sqrt {s(s-a)(s-b)(s-c)}}}$

ただし

${displaystyle s={rac {a+b+c}{2}}}$

出典：wikipedia

中学数学なら角Cから辺cに垂線を引き、そこから三平方の定理と二次方程式連立方程式※を使って無理矢理高さを出していくのが王道ですね。

私が調べた限り、何故か前述①②より後に紹介されてるケースが多かったのですが、一番使える機会が多そうな気が、、、？

結局やってることは同じだからかな？ 

とりあえず三平方の定理を使った導出で慣れたらもうこっちを使っていくのがいいかな。

後、方べきの定理、二次関数に交わる直線式なども覚えておいた方が良さげですが長くなったのでまた次回に。

※筆が滑って間違えましたので訂正します。(三平方の定理を使うので二次方程式も誤りではないとは思いますが根幹ではないので、、、)