カメは月にいけるのか？＜最終回＞オイラーの定数

こんにちは。

数学学芸員のようじ　こと　八田陽児です。

カメは月にいけるのか？いよいよ最終回です。今回はオイラーの定数もご紹介します！

さて、前回の計算でこんな結果が求められました。

左辺の調和級数の和とlog(n+1）の大きさですが、実はこの差はとっても小さいものです。両方の式はほぼ同じと考えて差し支えありません。

このことを計算したのはかのオイラー大先生です。

調和級数の和が発散することは１４世紀にニコル・オレームによって証明されていました。１６世紀、オイラーは更にこの２つの式が極限を取ると、等しいことを証明し、その差がある定数に収束することを示しました。

その定数をオイラーの定数（γと書きます）といいます。（そのまんま！）

式で書くと・・・

と書くことができ、この値は

γ＝0.577215664901532860606512090082402431042159335939923598805767234884867726777 66467093694706…

だそうです。この値が有理数か無理数か、わかっていないそうです。

今、ここで３８万ｋｍかなたにたどり着くまでのことを考えます。そんな先では、調和級数の和とlogの面積はほぼ同じと考えて、

とします。

３８万ｋｍは380,000,000mですので、

log(n)≒380000000

よって

となり、常用対数で取ると

となります。

ここで、2<e<3ですので、log(2)<log(e)<log(3)であり、常用対数の表ではlog(2)≒0.3010、log(3）≒0.4771なので、代入すると

380000000*0.3010＜log(n)＜380000000*0.4771

となります。

つまり、nの桁数は１億桁ほどになるということです。

宇宙が作られて４６億年ですら、日になおすとたったの１３桁ほどです。

カメは月に行くまでに１億桁の日数がかかるということでした。

さて、地球の周りを回っている太陽はおろか、宇宙すらそのときまで存在しているか分かりません。太陽が爆発して、地球や月、そして太陽系をふっ飛ばしても、更に何度も太陽系が出来ても、宇宙が何度出来てもまだまだ到着しそうにありません。

とすれば、やっぱり現実的なのはロケットで月に行くということでしょうか…。

よって正解は③印税で稼いだ金でロケットを買って、月に行く！でした～(^ ^)

調和級数の和、1/xの積分、対数関数、常用対数、オイラーの定数などたくさん出てきましたが、どれもおもしろい話でしたね。

最後までお読みくださいまして、ありがとうございました！

（途中式や計算式は全く厳密ではありませんので、雰囲気だけお楽しみくださいませ。）

☆Special thanks to にいむ様☆