無限について ～長さの違う線の点の数は一緒？～

こんにちは。

数学学芸員のようじです。

無限について考えると不思議で仕方ありません。

この図形を見てください。

赤色の短い線と長い線。

長さはもちろん異なります。

また線分は無数の点の集まりです。

さて問題。

短い線と長い線の点の数はどちらが多いでしょうか？

これは天才数学者も悩ませた問題です。

見た目では長いほうが点も多い気がします。

果たしてそうなのでしょうか？？

実は一緒なのです。( ﾟдﾟ)ｴｴｴ～

またまた違う図を見てください。

三角形の頂点から青い線を引いてみました。

すると、短い線の上の１点と長い線の上の１点が対応します。

青い線を動かすと、どの位置でも短い線の１点と長い線の１点が

対応します。

すなわち、両方の線分の点は同じ数なのです！！！

数学では、

これを１：１対応といいます。

無限を考えるとき、数が無限なので個数を数え上げていくことはできません。

しかし、この１：１対応を考えると、無限の大きさ（実は無限の濃度という）を比べることが出来るのです。。。

＜まとめ＞

無限の濃度を比べるときは、１：１対応できるかどうかを調べる！