自然数とは？？

こんにちは。

数学学芸員のようじです。

少し休憩していましたので、文字を大きくしての登場です！

さて、前回まで無限のお話をしていました。

無限大（どんどん大きくなること）や無限小（どんどん小さくなること）は、イメージしにくいので高校数学などでは曖昧にされています。

また、日常で無限大について表現するときも我々は曖昧に話しますね。

例えば

「自然数とは、１，２，３・・・となるものだよ」

う～ん、「・・・」って一体なんでしょう？？？

曖昧です！

では、数学的に自然数とはどのように定義されているのでしょうか？

「・・・」など曖昧な言葉なしで定義できるのでしょうか？

それに成功したのが、ペアノという数学者です。

ペアノは、「自然数」「の後者」「０」を無定義用語（これ以上説明できないものとして、意味を考えずに使用する言葉のこと）として、５つの公理を示しました。

【公理１】

０は自然数である。

【公理２】

任意の自然数の後者は、自然数である。

【公理３】

自然数ｘの後者と自然数ｙの後者が一致しているなら、ｘ＝ｙである。

【公理４】

０はどの自然数の後者でもない。

【公理５】

ある性質が０に対しても成り立ち、その上、その性質を持つ任意の自然数の、その後者に対しても成立するなら、その性質はすべての自然数について成立する。

いかがでしょうか？

よくよくよ～く読んでみると、これらを満たすものを「自然数」と定義しましょうといっているのです。

公理１と公理２によって、

「０の後者も自然数」

と分かります。

それを１とでも名づけましょう。

１は自然数なので、１の後者も自然数となります。

それを２と名づけましょう。

・・・

と言うように、自然数が次々と決まってくるのです。

幼稚園から使っていた自然数。

しっかりと定義しようとすると、こんなにも複雑なのですね・・・。