数学者メルセンヌ

こんにちは。

数学学芸員のようじです。

今日ご紹介するのは、素数の研究に大きく貢献した数学者の話です。

１７世紀フランス。

世間では、素数を１つの公式で表せるか研究が進んでいました。

その素数の研究に大きく貢献した数学者がいます。

その名は、マラン・メルセンヌ（1588-1648）。

神学者であり、哲学者であり、そして偉大な数学者でした。

メルセンヌはある形で表せる素数に注目をしました。

２のべき乗から１を引いた数です。

nに1から数を入れていくと、

1, 3, 7, 15, 31, 63, 127, 255・・・

といった具合です。

そう、パソコンやITに詳しい方は「2進数で1111…と続く数か」と気付かれると思います。

このような「２のべき乗ひく１」で表せる数をメルセンヌ数といい、しかも素数のときメルセンヌ素数といいます。

上で挙げた例のうち、3, 7, 31などはメルセンヌ素数ですね。

では、メルセンヌ素数はどのくらいあるのか？

メルセンヌはそう考えました。そこでメルセンヌは

「nが257以下では、n＝2, 3, 5, 7, 13, 19, 31, 67, 127, 257のとき、素数になるが、それ以外では素数にならない」

と予想をしました。

計算機やパソコンのない時代、すべて手計算で素数かどうかを判定しました。

nが小さいうちはまだいいのですが、nが大きくなると、メルセンヌ数自体がとてつもなく大きくなります。

n＝31のとき、メルセンヌ数＝2147483647になります。。。

とてつもなく大きな数ですね。これが素数かどうかを判定するには、そうとうな労力がかかります。

（この数が素数であると証明したのはオイラーでした。）

現在、メルセンヌの予想は一部はずれていることが分かりました。

n＝67, 257は素数でないことが分かり、メルセンヌの予想にないn＝61, 89, 107も素数であることが分かりました。

さて、ここまで読まれた方はお気づきになるかもしれません。

そう。メルセンヌ数が素数となるときは必ず、nが素数のときです。

どうしてかって？

それは神様からのちょっとしたクイズです。

ぜひご自身でその秘密をあばいてみてください・・・。