因数分解がわかれば、数式として数列を確かめられますが、今回は実験で見ていきます。

問題

図のように2つの円があります。はじめ，大きい円の半径は5cm，小さい円の半径は4cmで，1秒ごとにそれぞれが1cmずつ大きくなっていきます。ただし，小さい円は，つねに大きい円の内側にあります。

つまり，2つの円の半径は，1秒後は6cmと5cm，2秒後は7cmと6cm，…になります。

　図で斜線をつけた，2つの円のあいだの部分について，次の問いに答えなさい。

⑴　5秒後における，2つの円のあいだの部分の面積を求めなさい。

⑵　2つの円のあいだの部分の面積が，はじめて2021㎠をこえるのは何秒後ですか。整数で答えなさい。

⑶　ある時刻における，2つの円のあいだの部分の面積をS㎠，

　その1秒後における，2つの円のあいだの部分の面積をT㎠とします。

　T÷Sの値が，はじめて1.02より小さくなるような「ある時刻」は何秒後ですか。整数で答えなさい。

解説

{(5＋5)×(5＋5)－(4＋5)×(4＋5)}×3.14＝19×3.14＝59.66㎠

⑴　59.66㎠

上式をもとに時間による面積の差を見ます。

上表より、差は2×3.14ずつ増えていることがわかります。

そうすると、2021㎠になるには2021÷3.14＝643.6…よって、求める答えは(643－9)÷2＋1＝318秒後

⑵　318秒後

Sの大×大－小×小＝nとすると、Tの大×大－小×小はn＋2となります。

T／S＜1.02となるとき、n＋2／n＜1.02＝51／50となります。

このときn＋2＜n×51／50

50×(n＋2)＜n×51

n×50＋100＜n×51

100＜n

よって、n＝101とわかります。

求める時間は(101－9)÷2＝46秒後となります。

⑶　46秒後

数列の問題（筑波大学附属駒場中 2021）