因数分解がわかれば、数式として数列を確かめられますが、今回は実験で見ていきます。
問題
図のように2つの円があります。はじめ，大きい円の半径は5cm，小さい円の半径は4cmで，1秒ごとにそれぞれが1cmずつ大きくなっていきます。ただし，小さい円は，つねに大きい円の内側にあります。
つまり，2つの円の半径は，1秒後は6cmと5cm，2秒後は7cmと6cm，…になります。
図で斜線をつけた，2つの円のあいだの部分について，次の問いに答えなさい。
⑴ 5秒後における，2つの円のあいだの部分の面積を求めなさい。
⑵ 2つの円のあいだの部分の面積が，はじめて2021㎠をこえるのは何秒後ですか。整数で答えなさい。
⑶ ある時刻における，2つの円のあいだの部分の面積をS㎠，
その1秒後における，2つの円のあいだの部分の面積をT㎠とします。
T÷Sの値が，はじめて1.02より小さくなるような「ある時刻」は何秒後ですか。整数で答えなさい。
解説
{(5＋5)×(5＋5)－(4＋5)×(4＋5)}×3.14＝19×3.14＝59.66㎠
⑴ 59.66㎠
上式をもとに時間による面積の差を見ます。
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時間 |
大×大 |
小×小 |
斜線部の面積 （大×大－小×小）×3.14 |
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5×5 |
4×4 |
9×3.14 |
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1 |
6×6 |
5×5 |
11×3.14 |
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2 |
7×7 |
6×6 |
13×3.14 |
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3 |
8×8 |
7×7 |
15×3.14 |
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4 |
9×9 |
8×8 |
17×3.14 |
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5 |
10×10 |
9×9 |
19×3.14 |
上表より、差は2×3.14ずつ増えていることがわかります。
そうすると、2021㎠になるには2021÷3.14＝643.6…よって、求める答えは(643－9)÷2＋1＝318秒後
⑵ 318秒後
Sの大×大－小×小＝nとすると、Tの大×大－小×小はn＋2となります。
T／S＜1.02となるとき、n＋2／n＜1.02＝51／50となります。
このときn＋2＜n×51／50
50×(n＋2)＜n×51
n×50＋100＜n×51
100＜n
よって、n＝101とわかります。
求める時間は(101－9)÷2＝46秒後となります。
⑶ 46秒後