出題のされ方から規則性と見ぬきたい一題です。
問題
「整数の各位の数をそれぞれ自分自身とかけ合わせて，すべてを足す」という操作をくり返し行います。例えば，24からはじめてこの操作を3回くり返すと，24→2×2＋4×4＝20→2×2＋0×0＝4→4×4＝16のように，16になります。
⑴ 7からはじめてこの操作を10回くり返すと何になりますか。
⑵ 4からはじめてこの操作を20回くり返すと何になりますか。
⑶ 2016からはじめてこの操作を2016回くり返すと何になりますか。
解説
7×7＝49→4×4＋9×9＝97→9×9＋7×7＝130→1×1＋3×3＋0×0＝10→1×1＋0×0＝1→…
となり、5回目以降は1になるので、求める値は1とわかります。
⑴ 1
4×4＝16→1×1＋6×6＝37→3×3＋7×7＝58→5×5＋8×8＝89→8×8＋9×9＝145→1×1＋4×4＋5×5＝42→4×4＋2×2＝20→2×2＝4→4×4＝16…
となり、16、37、58、89、145、42、20、4、16…をくり返しますので、20÷8＝2…4から求める値は89となります。
⑵ 89
2×2＋0×0＋1×1＋6×6＝41→4×4＋1×1＝17→1×1＋7×7＝50→5×5＋0×0＝25→2×2＋5×5＝29→2×2＋9×9＝85→8×8＋5×5＝89→145→42→20→4→16→37→58→89→…
となりますので、(2016－6)÷8＝251…2より、求める値は145となります。
⑶ 145