数のセンスが鋭く問われる問題です。
問題
150を1，2，3，……，150でわったときの商と余りについて考えます。
ただし，商は整数とし，わり切れるときの余りは0とします。
⑴ 余りとして考えられる最も大きい数を答えなさい。
⑵ 商として考えられる数は何種類あるか答えなさい。
次に，150を1，2，3，……，150でわったときの商と余りをかけ合わせた数について考えます。
150をある数xでわったときの商と余りをかけ合わせた数を＜x＞と表します。
例えば，150を11でわったときの商と余りをかけ合わせた数を＜11＞と表して，＜11＞＝13×7＝91となります。
⑶ ＜1＞，＜2＞，…，＜150＞のうち，0となるものは何個あるか答えなさい。
⑷ ＜1＞，＜2＞，…，＜150＞のうち，108となるものをすべて答えなさい。
⑸ ＜1＞，＜2＞，…，＜150＞のうち，＜x＞＝xとなるものをすべて答えなさい。
解説
商をできるだけ小さくすると、余りは大きくなります。
そうすると、商が1になる最小の商である76でわると、余りは最大になります。
150÷76＝1…74
⑴ 74
150＝12×12＋6です。
ここからわかることは、12より小さい数でわる場合、商は13以上でかつすべて異なります。なので、商が12種類あることが分かります。
一方、13以上の数でわる場合、商は1から11までの11種類になることが分かります。
よって、求める商の種類は12＋11＝23種類です。
⑵ 23種類
150＝2×3×5×5より、約数は(1＋1)×(1＋1)×(2＋1)＝12個です。
⑶ 12個
108＝1×108、2×54、3×36、4×27、6×18、9×12
このとき、1×108は存在しえません。
また、商と余りは商が奇数になれば余りも150－奇数より奇数になりますので、4×27、9×12もありえません。
そうすると、以下の場合について考えます。
2×54：商2、余り54…不適、商54、余り2…不適
3×36：商3、余り36…x＝38、商36、余り3…不適
6×18：商6、余り18…x＝8、商18、余り6…x＝22
⑷ x＝8、22、38
商×x＋余り＝150、＜x＞＝商×余りより、＜x＞＝xのとき、商×商×余り＋余り＝150となります。
このとき、余り×（商×商＋1）＝150なので、商×商＋1は150の約数4＋1、9＋1、49＋1のいずれかです。このとき、商はそれぞれ2、3、7であり、余りは30、15、3となります。
よって、x＝60、45、21
⑸ 60 45 21