かなり難しい問題ですが、中学入試の余りの性質の問題で似たようなものを見たことある気がします。
とはいえ、これは厳しいです。看板に偽りありになってしまいますが、たまには実験して考える問題も扱いたいので載せます。
2乗―2乗を思いつく人もいるでしょうが、そしてその方法でも解けますが、数学やることが中学受験勉強として有意義とは思っていませんので、数学を知っている前提となる解法は、ここでは書きません。まあ、不定方程式はかなりグレーゾーンでありますが。
問題
Aは2桁の整数で，A×Aを15で割ると1余ります。このようなAは全部で□個あります。
解説
前提
B×Bを4で割ることを考えます。
①B÷4の余りが0になるとき
4×4＝16より、B×Bの余りも0とわかります。
②B÷4の余りが1になるとき
5×5＝25より、B×Bの余りも1とわかります。
③B÷4の余りが2になるとき
6×6＝36より、B×Bの余りは0とわかります。
④B÷4の余りが3になるとき
7×7＝49より、B×Bの余りは1とわかります。
③、④より、Bの余り×Bの余り÷4の余りがB×Bの余りとわかります。
ここでは、A×Aを15で割ると余りが1になります。
そうすると、上記の実験より
⑴Aを15で割った余りが1になるとき
⑵Aを15で割った余りが4になるとき
⑶Aを15で割った余りが11になるとき
⑷Aを15で割った余りが14になるとき
と当てがつきます。
⑴…16、31、46、61、76、91
⑵…19、34、49、64、79．94
⑶…11、26、41、56、71．86
⑷…14．29、44、59、74．89
の計24個が当てはまります。
24個