何故この二人のそれが耳に残るのか、しょーもない発言はゴーグルニュースのトップページで日々目にするのにと、我ながら不思議だった。
ゴーグルニュースにあがるものの多くはコメンテイターと呼ばれる人士が他所事について述べる感想で、高市・原の発言は自分が生業とする事象にかかはり、それを表現してみせることも生業の一部だから独特の印象を与へるのだらうか。どうかな。
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多分後付けの理屈だ。ある人・物を好き (嫌ひ) になった後で、その好悪の気持ちを正当化したいといふあまりほめられたものではない動機。
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p(x) = 0 (複素数を係数とする方程式としての p(x), \deg(p(x)) = n とすると, \C において n 個の根をもつ) は重根をもたない.
補題 $𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑸[𝑥]$ が互ひに素 $⇒ 𝑓(𝑥) = 0, 𝑔(𝑥) = 0$ が共通根 ($∈ 𝑸$ に限らない) をもたない.
証明 $∃𝐴(𝑥), 𝐵(𝑥) (∈ 𝑸[𝑥], 𝐴(𝑥) 𝑓(𝑥) + 𝐵(𝑥) 𝑔(𝑥) = 1)$. 共通根を $𝛼 (∈ 𝑪)$ とすれば, $𝐴(𝛼) 𝑓(𝛼) + 𝐵(𝛼) 𝑔(𝛼) = 0$. これは矛盾. $∎$
定理の証明 $𝑝(𝑥) ∈ 𝑸[𝑥]$ が既約多項式 $⇒ 𝑝(𝑥), 𝑝'(𝑥)$ は互ひに素^1 ($𝑝'(𝑥)$ は $𝑝(𝑥)$ の導函数) $⇒ 𝑝(𝑥), 𝑝'(𝑥) ∈ 𝑪[𝑥]$ は共通根をもたない $⇔ 𝑝(𝑥) ∈ 𝑪[𝑥]$ は重根をもたない.
最後の $⇔$ の証明.
($⇒$) $𝑝(𝑥)$ が重根 ($𝛼$) をもつ $⇔ 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)^2 𝑞(𝑥) ⇒ 𝑝(𝛼) = 0, 𝑝'(𝛼) = 0$ .
($⇐$) $𝑝(𝑥), 𝑝'(𝑥) ∈ 𝑪[𝑥]$ が共通根 ($𝛼$) をもつ $⇒ 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝛼) 𝑓(𝑥), 𝑝'(𝑥) = 𝑓(𝑥) + (𝑥 − 𝛼) 𝑓'(𝑥) = (𝑥 − 𝛼) 𝑔(𝑥) ⇒ 𝑓(𝑥) = (𝑥 − 𝛼) 𝘩(𝑥) ⇒ 𝑝(𝑥) = (𝑥 − 𝛼)^2 𝘩(𝑥)$. $∎$
^1 $𝑝(𝑥) ∈ 𝑸[𝑥]$ だから $𝑝(𝑥), 𝑝'(𝑥)$ が互ひに素が成立する. $K$ が標数 $q$ の体とすると、$𝑝(𝑥) = x^q + 1, p'(x) = q x^{q - 1} = 0$ 故, $𝑝(𝑥), 𝑝'(𝑥)$は互ひに素に非ず.
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定理 $𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑸[𝑥]$. その最大公約元を $𝘩(𝑥)$ とする. $𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) を ∈ 𝑪[𝑥]$ とみなしても, その最大公約元は $= 𝘩(𝑥)$.
$𝑓(𝑥) = 𝑥^2 + 1$ とすると, $∈ 𝑸[𝑥]$ で考へれば既約多項式 (約元をもたない) だが, $∈ 𝑪[𝑥]$ なら, $= (𝑥 + √{−1}) (𝑥 − √{−1})$ なので, 結構驚き.
証明 $𝑓(𝑥) = 𝑓'(𝑥) 𝘩(𝑥), 𝑔(𝑥) = 𝑔'(𝑥) 𝘩(𝑥)$ とすると, $𝑓'(𝑥), 𝑔'(𝑥)$ は互ひに素 $⇔ 𝑓'(𝑥) = 0, 𝑔'(𝑥) = 0$ が共通根 ($∈ 𝑪$) をもたない $⇒ 𝑓'(𝑥), 𝑔'(𝑥)$ は公約元をもたない $⇒ 𝑓(𝑥), 𝑔(𝑥) ∈ 𝑪[𝑥]$ の最大公約元は $𝘩(𝑥)$. $∎$
あると言う.」(ja.wikipedia.org/wiki)
□ 1 は任意の整数 𝑛 の約元であり (1 | 𝑛^3), 任意の 𝑛 は 0 の約元である (𝑛 | 0).
□「0 と互いに素となる整数は 1 と −1 だけであり, また任意の整数と互いに素となる整数も 1 と −1 だけである.」(ja.wikipedia.org/wiki/互いに素_(整数論))
これらの定義を確認し直したきっかけは以下の通り:
「𝑎 が既約元で, 𝑎 ∤ 𝑏 かつ 𝑏 ≠ 0 である故, 𝑎 と 𝑏 は互ひに素である」といふ証明の「𝑏 ≠ 0」が はて? だった. 「𝑎 が既約元で, 𝑎 と 𝑏 が互ひに素」を読んで, これが「𝑎 ≠ 1, ≠ 0, 𝑏 ≠ 0」を含意してゐることが頭からすっぽり抜け落ちてゐた. 「既約元」, 「互ひに素」の定義に戻って, そりゃさうだ, 7 = 1 × 7, 0 = 0 × 7 だから, 7 は 0, 7 の公約元に違ひない, 𝑏 ≠ 0 を確かめないといけないんだ, と唸ったといふ次第だ.
「Der liebe Gott steckt im Detail. (神は細部に宿り給う)」
^1 integral (整数みたいな) domain. 𝑎 𝑏 = 0 ならば 𝑎 = 0 または 𝑏 = 0 が成り立つ domain.
^2 𝑎 が単元 ⇔ ∃𝑎^{−1} (𝑎 𝑎^{−1} = 1). 𝒁 (整数) においては ±1 のみ.
^3 𝑎 | 𝑏 (𝑎 が 𝑏 を割り切る) ⇔ ∃𝑥 (𝑎 𝑥 = 𝑏)