■ 「微分」に関する知識を強化する！
普段の生活には全く縁がないと思われる数学知識ですが、市場分析という
世界に足を踏み入れたのであれば無関係とは言えない知識になるでしょう。
でも今更学生時代の教科書を引っ張り出すには・・ (ﾉ_･｡)
あ～微分って難しくてわからなかったなぁ・・
と知識の取得を諦めてしまう方も多いことでしょう。当コンテンツは、そんな方々
へお贈りいたします。
■ 今回扱う知識以外に必要な知識
微分－極小な世界を理解する
■ 今回扱う知識は「重要な導関数計算」
【微分計算を理解する】
微分とは極小の世界における傾きを示し下記の導関数によって傾きを導き
ました。今回は上記の導関数計算ではない微分計算を解説します。この
計算は実際に活用する計算であり覚えておかないといけない計算です。
重要な関数の微分計算例を複数回に渡って解説しますが、この計算は
フーリエ変換など様々な場面で使われる超重要な内容です。取りこぼし
のないようにしましょう♪
【原始関数と導関数】
原始関数とは微分をする対象となる関数です。そして導関数は原始関数
を微分した関数となります。
基本的な原始関数としてはN次関数となりますので、例題を参考にしなが
ら計算プロセスを解説していきます。
まず、
の導関数を導きますと、
となったことは「極小な世界を理解する」で扱いました。（忘れた方は記事上部
の今回使用する知識以外に必要な知識のリンク先参照）実は、この計算は
導関数を導く式を使わずに、
という法則性をもって簡単に微分を行うことができます。要は原始関数の指数
の値を傾きにもってきて、指数部分は次数を１つ下げることになります。仮に、
係数を伴っていれば、
となります。これが実際に行う微分計算の基本形です。では、下記式のように
定数項がある場合はどうでしょうか。
これを微分しますと・・・
となります。つまり、定数項は消されます。理由は簡単であり、傾きに関わる
部分はXに関する部分だけだからです。そして、微分計算には次の宣言が
必要となります。
何について微分する！
変数がX以外にもある時に、Xについて微分するのか、それ以外の変数を微分
するのかを決めなければ微分はできません。例えば、
という式でXについて微分する場合は、それ以外は定数項として扱われるため
全て消去されます。しかし、ｎについて微分するのであればｎ以外が定数項とな
り他は全て消去されます。
上記の微分はXについて微分した場合です。ちなみにｎについて微分すると２
となります。この考え方は偏微分と呼ばれ、２変数以上の際に行う微分となり
ます。（偏微分なのでdｘではなく∂（ラウンドディーと読み偏導関数を意味）と
表示）
【つまり微分とは？】
上記内容より、微分の説明はちょっと詳細化して、
微分とは対象となる変数における変化の度合い＝対象となる変数の傾き
となるわけです。そして微分とは対象となる変数の次数を前に出し、次数を
下げ、定数項として扱う部分は消去する処理になります。
計算プロセスだけみれば微分は簡単ですが、本来は微分によって導く変化
の具合はどのようなものなのかを調べることです。
例えば上記で扱った、
の場合は、
と変化をする原始関数の変化の具合を調べるため微分を行い、
その結果、
となることが判明します。微分はあくまでも変化の具合を調べるための
ツールということを忘れないようしましょう (^O^)/
次回は様々な関数の微分を扱います♪
