(cf. はてなブログでLaTeXの記法を有効にした版）
x_i≧0, Σx_i=x_1+x_2+…+x_n=k の条件下での
Πx_i=x_1x_2…x_n の最大値は、全ての x_i が
k/n の時の値＝(k/n)^n
証明）
まず、n=2（２変数）の場合、制約条件から１変数の
最大値を求める問題に変換し、平方完成すればよい。
i.e. 多少は見易くするため、X=x_1, Y=x_2 と書けば、
Πx_i=XY=X(k-X)=-(X-(k/2))^2+(k/2)^2) ≧(k/2)^2 //
一般の場合、n=2 の場合の結果から、x_i≠x_j である
i, j がある点では、最大値を取り得ない事に注意。
（∵k'=x_i+x_j として、２変数の場合を適用）。
しかし、定義域が弧状連結なコンパクト集合だから、
連続関数Πx_iによる像は弧状連結なコンパクト集合、
つまり閉区間になり、特に最大値は存在するのだから、
それは全ての x_i が等しい点の値でしかあり得ない。//
備考１）
別記事のn変数での「相加平均≧相乗平均」の証明では、
定理(C) の形に拡張して、予め与えられた＊定数＊を、
所定の方法で組み合わせて計算した場合の最大値を
求める問題に変換した。そうすると、組み合わせ方は
有限個だから、その中に最大値を与える組み合わせが
あり、かつ、最大値を与える組み合わせは題意を満たす
場合（＝各組を大きい順ないし小さい順に並べて、その
順番通りの組合わせで掛けてから和を取る場合）でしか
あり得ないという論法を用いた。
この記事の論法は「コンパクト集合（有界閉集合）には
有限集合と似た性質がある」事の利用法の例と言えよう。
備考２）
実は、n変数での「相加平均≧相乗平均」の関係
k/n = (Σx_i)/n ≧(Πx_i)^(1/n) から直ちに
等号成立の時の (k/n)^n がΠx_i の最大値 //
備考３）
制約条件付きの最大・最小（極大・極小）問題の「定石」
として「ラグランジュの未定乗数法」が知られている。
この記事の問題に適用すると、未定乗数λを制約条件式に
掛けた項を目的関数から引いた次の関数 F の最大問題に
変換して考える事になる。
F=Πx_i-λ((Σx_i)-k）
この問題では「全ての x_j が等しい場合に停留値をとる」
という結論が、次のようにして得られる。
各変数 x_j での偏微分が全て 0 という条件から、
(Πx_i)/x_j = λ ∴ x_j = (Πx_i)/λ は全て等しい。
「最大値が存在する」ことは、最初の証明と同じ論法で
保証される。
kが0でない限り、定義域の境界である超平面 x_j=0 での
値 0 は最大値ではなく、最大値は極大値、特に停留値と
言えるので「全ての x_j が等しい場合に最大値を取ると
結論できる。//
備考４）
先に備考２でも暗黙に使っていることだが、n乗根、
つまり(1/n)乗という関数が単調増加関数なので、
本記事の命題を（備考２以外の方法で）証明して
おけば「相加平均≧相乗平均」の別証が得られる。//
備考５）
n変数「相加平均≧相乗平均」には以下の別証もある。
(a_1+a_2+a_3+a_4)/4=
((a_1+a_2)/2+(a_3+a_4)/2)/2≧
√(((a_1+a_2)/2)((a_3+a_4)/2)))≧
√(√(a_1a_2)√(a_3a_4))=
(a_1a_2a_3a_4)^(1/4)
同様にして、変数の数が２の冪である場合は成立する。
∴変数の数がkで成立するなら、変数の数がk-1 でも
成立することを示せばよい。k-1 個の変数の和、積を
S, T として、以下のように変数の数がkの場合の関係を
書き換えておく。i.e.
(Σa_i)/k=(S+a_k)/k、(Πa_i)^(1/k)=(Ta_k)^(1/k)
∴(S+a_k)/k≧(Ta_k)^(1/k)
後は a_k を S/(k-1) で置き換えて整理すればよい i.e.
→S/(k-1)≧(T(S/(k-1))^(1/k)
→S/(k-1)^((k-1)/k)≧(T)^(1/k)
→(S/(k-1))^(k-1)≧(T)
→S/(k-1)≧(T)^(1/(k-1)) //