解と係数の関係
こんにちは、河見です。
最近、高校生から「解と係数の関係ですけど、３解のものも覚えたほうがいいですか？」とたて続けに質問されました。
解と係数の関係は、３解のものも覚えておかないといけません。また、解と係数の関係ですが、なぜ成立するのか分からない人も多いですが、簡単に導けます。
たとえばax^3+bx^2+cx+d=0の３解をx=α、β、γとします。そうすると、x=α、β、γを３解にもつような方程式の一つは（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝０となります。
これは、分かるよね。例えば（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝０の方程式はｘ＝１，２，３です。逆からいくとｘ＝１，２，３を３解に持つような３次方程式のひとつは（ｘ－１）（ｘ－２）（ｘ－３）＝０です。
方程式の一つはという、少しややこしい表現を使ってきました。どういうことかというと２（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝０でも５（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝０でも、方程式の解はｘ＝α、β、γです。ということは○（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝０の○の部分は何がきてもＯＫです。
で、○の部分ですが展開した時のｘ^3の係数と一致します。よって、x^3の係数がaで解がｘ＝α、β、γであるような３次方程式はa（ｘ－α）（ｘ－β）（ｘ－γ）＝０となります。
これを展開して、ax^3+bx^2+cx+d=0と係数比較すると、簡単に導くことができます。
解と係数の関係は、受験でもよくでてくるのでしっかりと理解しておいた方がいいです。