今回は，まず命題の逆や命題の対偶について学びます。これらは命題「p⇒q」に関連したある形の命題を指す用語です。ある命題の対偶は，もとの命題とは別の形をしているものの，もとの命題と真偽が一致するという性質を持っています。証明することが難しい命題に出合ったときは，この性質を利用することで証明がうまくいく場合もあります。
命題ｐ⇒ｑがあるとき、ｑ⇒ｐをもとの命題の逆といいます。
それでは、三平方の定理の逆を考えてみましょう！
三平方の定理は以下のように表すことができます。
「∠Cが直角⇒ａ２＋ｂ２＝ｃ２」
ですから、三平方の定理の逆は
「ａ２＋ｂ２＝ｃ２⇒∠Cが直角」
となります。
この場合、三平方の定理は真の命題、三平方の定理の逆も真の命題となります。
「３２＋４２＝５２⇒赤い玉のところの角は直角」
という考え方をしましたね。
つまり、三平方の定理の逆を使ったということです。
しかし、「真の命題」の「逆」が「真」でない場合もあるので注意が必要です。
命題「ｘ＞３⇒ｘ＞１」は真となります。
逆の命題「ｘ＞１⇒ｘ＞３」の真偽はどうなるでしょうか？
例えば、ｘ＝２とすると、ｘ＞１は成り立ちますが、ｘ＞３は成り立ちませんね。
ですから、逆の命題は偽となります。
このとき、反例はｘ＝２です。
ｎは自然数とするとき、以下の条件の否定について考えてみましょう☆
条件「ｎは偶数である」
この条件の否定は「ｎは偶数でない」、つまり「ｎは奇数である」となります。
条件ｐの否定（ｐでない）はPと表します。
それでは問題です！
ｘ＞３の否定を答えてください。
ｘ＜３ではないですよ～。
答えは「ｘは３より大きくない」ですから、ｘ≦３となります！
命題ｐ⇒ｑがあるとき、この命題の対偶はｑ⇒ｐ
となります。
このとき、対偶ともとの命題の真偽は一致します。
命題が真ならば、その対偶も真
命題が偽ならば、その対偶も偽
なのです！
具体的に考えてみましょう！
命題「ｐ⇒ｑ」
ｐ：東京に住んでいる人
ｑ：日本に住んでいる人
とします。
つまり「東京に住んでいる人 ならば 日本に住んでいる人」となるので、これは真の命題です。
では、この命題の対偶を考えてみましょう。
対偶は命題の条件を両方とも否定して、さらにその逆ですから「ｑ⇒ｐ」です。
ここで
ｑ：日本に住んでいない人
ｐ：東京に住んでいない人
ですから、
命題の対偶は「日本に住んでいない人 ならば 東京に住んでいない人」となります。
日本に住んでいないのですから、もちろん東京には住んでいませんよね。
つまり対偶は真です。
上の図のように、「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」はお互いに逆の関係となっています。
同じように「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」はお互いに対偶の関係です。
そして、逆の関係にある２つの命題は真偽が一致するとは限りません。
しかし、対偶の関係にある２つの命題の真偽は一致します。
命題「ｐ⇒ｑ」を証明することが難しい場合には、真偽が一致する対偶の「ｑ⇒ｐ」を考えてみましょう！
ｎが自然数のとき、命題「ｎ２が偶数⇒ｎは偶数」を証明してみましょう。
ｎ２は偶数なのでｎ２＝２ｍ（ｍは自然数）とおくことができます。
すると、ｎ＝√２ｍとなり…これではｎが偶数か奇数かわかりませんね。
そこで登場するのが対偶です☆
対偶は「ｎが偶数でない⇒ｎ２は偶数でない」つまり「ｎが奇数⇒ｎ２は奇数」となりますね。
ｎは奇数なのでｎ＝２ｍ－１（ｍは自然数）とおきます。
すると、
ｎ２＝（２ｍ－１）２
＝４ｍ２－４ｍ＋１
＝２（２ｍ２－２ｍ）＋１
となります。
ｍは自然数なので２ｍ２－２ｍは整数ですから２（２ｍ２－２ｍ）は偶数です。
したがって２（２ｍ２－２ｍ）＋１は奇数となりますね！
つまり、対偶「ｎが奇数⇒ｎ２は奇数」は真です。
ですから、元の命題である「ｎ２が偶数⇒ｎは偶数」も真であることがわかります。
命題ｐ⇒ｑがあるとき、ｑ⇒ｐをもとの命題の逆といいます。
それでは、三平方の定理の逆を考えてみましょう！
三平方の定理は以下のように表すことができます。
「∠Cが直角⇒ａ２＋ｂ２＝ｃ２」
ですから、三平方の定理の逆は
「ａ２＋ｂ２＝ｃ２⇒∠Cが直角」
となります。
この場合、三平方の定理は真の命題、三平方の定理の逆も真の命題となります。
「３２＋４２＝５２⇒赤い玉のところの角は直角」
という考え方をしましたね。
つまり、三平方の定理の逆を使ったということです。
しかし、「真の命題」の「逆」が「真」でない場合もあるので注意が必要です。
命題「ｘ＞３⇒ｘ＞１」は真となります。
逆の命題「ｘ＞１⇒ｘ＞３」の真偽はどうなるでしょうか？
例えば、ｘ＝２とすると、ｘ＞１は成り立ちますが、ｘ＞３は成り立ちませんね。
ですから、逆の命題は偽となります。
このとき、反例はｘ＝２です。
ｎは自然数とするとき、以下の条件の否定について考えてみましょう☆
条件「ｎは偶数である」
この条件の否定は「ｎは偶数でない」、つまり「ｎは奇数である」となります。
条件ｐの否定（ｐでない）はPと表します。
それでは問題です！
ｘ＞３の否定を答えてください。
ｘ＜３ではないですよ～。
答えは「ｘは３より大きくない」ですから、ｘ≦３となります！
命題ｐ⇒ｑがあるとき、この命題の対偶はｑ⇒ｐ
となります。
このとき、対偶ともとの命題の真偽は一致します。
命題が真ならば、その対偶も真
命題が偽ならば、その対偶も偽
なのです！
具体的に考えてみましょう！
命題「ｐ⇒ｑ」
ｐ：東京に住んでいる人
ｑ：日本に住んでいる人
とします。
つまり「東京に住んでいる人 ならば 日本に住んでいる人」となるので、これは真の命題です。
では、この命題の対偶を考えてみましょう。
対偶は命題の条件を両方とも否定して、さらにその逆ですから「ｑ⇒ｐ」です。
ここで
ｑ：日本に住んでいない人
ｐ：東京に住んでいない人
ですから、
命題の対偶は「日本に住んでいない人 ならば 東京に住んでいない人」となります。
日本に住んでいないのですから、もちろん東京には住んでいませんよね。
つまり対偶は真です。
上の図のように、「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」はお互いに逆の関係となっています。
同じように「ｐ⇒ｑ」と「ｑ⇒ｐ」はお互いに対偶の関係です。
そして、逆の関係にある２つの命題は真偽が一致するとは限りません。
しかし、対偶の関係にある２つの命題の真偽は一致します。
命題「ｐ⇒ｑ」を証明することが難しい場合には、真偽が一致する対偶の「ｑ⇒ｐ」を考えてみましょう！
ｎが自然数のとき、命題「ｎ２が偶数⇒ｎは偶数」を証明してみましょう。
ｎ２は偶数なのでｎ２＝２ｍ（ｍは自然数）とおくことができます。
すると、ｎ＝√２ｍとなり…これではｎが偶数か奇数かわかりませんね。
そこで登場するのが対偶です☆
対偶は「ｎが偶数でない⇒ｎ２は偶数でない」つまり「ｎが奇数⇒ｎ２は奇数」となりますね。
ｎは奇数なのでｎ＝２ｍ－１（ｍは自然数）とおきます。
すると、
ｎ２＝（２ｍ－１）２
＝４ｍ２－４ｍ＋１
＝２（２ｍ２－２ｍ）＋１
となります。
ｍは自然数なので２ｍ２－２ｍは整数ですから２（２ｍ２－２ｍ）は偶数です。
したがって２（２ｍ２－２ｍ）＋１は奇数となりますね！
つまり、対偶「ｎが奇数⇒ｎ２は奇数」は真です。
ですから、元の命題である「ｎ２が偶数⇒ｎは偶数」も真であることがわかります。