４桁の整数で、その下２桁の数と上２桁の数との和の平方と等しくなるものを求めなさい。（解答は下の方。）
問題
４桁の整数で、その下２桁の数と上２桁の数との和の平方と等しくなるものを求めなさい。（解答は下の方。）
解答
上２桁の数をＸ，下２桁の数をＹと置くと
②より５０－ｎ，５０＋ｎのどちらかが１１の倍数。
よって、５０－ｎ＝１１，２２，３３，４４
５０＋ｎ＝５５，６６，７７，８８，９９（ｎ≦５０より）
を調べると、ｎ＝３９，２８，１７，６，
５，１６，２７，３８，４９
∴９９Ｙ＝１１・８９，２２・７８，３３・６７，４４・５６，
５５・４５，６６・３４，７７・２３，８８・１２，９９・１
Ｙは整数よりこの中で成り立つのは、９９Ｙ＝５５・４５，９９・１のみ。
よって、ｎ＝５の時Ｙ＝２５，ｎ＝４９の時Ｙ＝１ のみ成り立つ。
これらを③に代入すると、Ｘ＝５０－２５±５＝２０，３０
Ｘ＝５０－１±４９＝０，９８（０は不適）
よって、答えは、２０２５，３０２５，９８０１
ワンポイント
①から高々Ｙ＝１～２５の２５通りを調べれば工夫なんかしなくても解ける。（電卓ありだしね。）
また、問題文に全てとは書いてないので１つ見つければ良いのだったら、①にＹ＝１を代入すると簡単に９８０１が見つかる。また、ここで運か勘のいい人は次に逆からＹ＝２５を代入してみると簡単に２０２５と３０２５も見つかる。
おまけ