寛永７年（１６３０年）１月２６日には将軍・家光が忠清の祖父・忠世邸に渡御しており、忠清も初目見して金馬代を献上し、家光から来国光の脇差を与えられている。
『東武実録』によれば、さらに１月２９日には大御所・秀忠が同じく忠世邸に渡御し、このときも忠清が初目見し太刀馬代を献上し、国俊の脇差を与えられている。寛永９年（１６３２年）１２月１日には江戸城に初登営し、弟の忠能とともに将軍家光に謁見している。
寛永１３年（１６３６年）３月１９日には祖父・忠世、同年１１月１７日には父・忠行が相次いで死去する。翌寛永１４年（１６３７年）１月４日に遺領１２万２，５００石のうち上野厩橋藩１０万石の相続を許され、同日には弟の忠能にも上野伊勢崎藩を分地された。
寛永１５年（１６３８年）に出仕し、従五位下・河内守に任じられる。
雅楽頭家嫡流として父の忠行が務めていた奏者番を命じられ、武家故実を習得して殿中儀礼の諸役を務める。この年には忠能と共に上野へ初入国をしている。なお、同年には土井利勝と酒井忠勝が大事の折の登城を命じられ、これが後の大老の起こりとされる。
寛永１８年（１６４１年）には３代将軍・徳川家光に嫡子・家綱が誕生。忠清は家光付きの本丸付家臣であり、幼少の家綱との接触は儀礼を通じてのみであったが、忠能は家綱付の家臣団に加わっている。
正保元年（１６４４年）１２月には松平定綱の娘・鶴姫と婚礼、慶安元年（１６４８年）には長男の忠明が生まれるが、鶴姫は慶安３年（１６５０年）に死去。慶安４年（１６５１年）４月には家光が死去し、８月には家綱が将軍宣下を受ける。
大老・酒井忠勝、老中・松平信綱や後見の保科正之、家綱付家臣団の松平乗寿らに補佐された家綱政権が成立し、忠清は引き続き奏者番を務め、１０月には左近衛権少将へ任官し、雅楽頭へ改名を命じられる。
大老職就任から晩年
家光の死後には西の丸老中が本丸老中へ吸収され、承応２年（１６５３年）６月には忠清も老中に就任し、諸役と兼任する。
忠清は就任と同時に老中首座として松平信綱、松平乗寿、阿部忠秋と共に４人連署体制を構成するが、翌３年（１６５４年）には乗寿が死去し、万治元年（１６５８年）閏１２月２９日に稲葉正則が加えられるまでは3人体制となる。明暦元年（１６５５年）、池田光政から光政の娘ふきと榊原政房の縁談について相談を持ちかけられている。
寛文４年（１６６４年）には一般奉書の加判を免じられており、寛文６年（１６６６年）２月２日、諸国山川掟を発する１人となり、３月２６日には老中奉書への加判も免じられ、大老職に就任する。
保科正之や阿部忠秋が没すると権力が集中し、新たに久世広之・土屋数直・板倉重矩を加えた老中達と共に将軍家綱を補佐して殉死禁止令や、陸奥仙台藩６２万石の伊達家で生じた伊達騒動（寛文事件）や、延宝年間に越後高田藩で生じた越後騒動などのお家騒動の裁定に関わった。
延宝８年（１６８０年）１月、上総久留里２万石を加増されて１５万石となり、忠行時代の家格に復する。
同年５月には家綱が死去し、８月には家綱の異母弟・綱吉が将軍宣下を受ける。１２月９日には病気療養を命じられ、大老職を解任される。
翌延宝９年（１６８１年）２月２７日に隠居し、５月１９日に死去。
享年58（満56歳没）。遺体は龍海院（現在の群馬県前橋市）に葬られた。戸田茂睡『御当代記』によると、綱吉は越後騒動の再裁定を行い、高田藩を改易しようとしたため忠清は反対したが、綱吉は取り合わなかったという（忠清死後の6月２１日に再裁定を行い、６月２６日改易）